Замечательные точки треугольника.

Замечательные точки треугольника — точки, местоположение которых не зависит от того, в каком порядке берутся стороны треугольника.
В школьном курсе геометрии изучаются 4 замечательные точки треугольника: точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения высот.
Кроме этого существует девять особых точек: середины сторон, основания высот, середины отрезков, соединяющих ортоцентр (точку пересечения высот) с вершинами треугольника.

Примеры точек.
Замечательными точками треугольника являются точки пересечения:
Медиан — центроид
Высот — ортоцентр
Биссектрис — инцентр (центр вписанной окружности)
Серединных перпендикуляров — центр описанной окружности.

Медиана треугольника.
Точка пересечения медиан является его центром масс или центром тяжести треугольника, или барицентром.
Точкой пересечения медианы делятся на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.
Большей стороне треугольника соответствует
меньшая медиана.
Из векторов, образующих медианы, можно
составить треугольник.

Высота треугольника.
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром.
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
Основания высот образуют так называемый ортотреугольник, обладающий собственными свойствами.

Биссектриса треугольника.
Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — инцентре — центре вписанной в этот треугольник окружности.
Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника.
Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой.