Деформированное состояние в точке. Обобщенный закон Гука. Лекция 10

Изменение формы тела связано с перемещениями его точек. Расстояние между положением некоторой точки А до и после изменения формы тела (рис. 1) называется ее полным перемещением. Составляющие вектора полного перемещения по осям х, у и z обозначаются соответственно через и, v и w.
Рис.1
Рассмотрим два элементарных отрезка АВ и ВС, образующих прямой угол САВ в плоскости zox (рис.2). Направление отрезка АВ совпадает с направлением оси x. Расстояние между точками А и В обозначим через dx.

Направление отрезка АС совпадает с направлением оси z. Расстояние между точками А и C обозначим через dz.
Рис.2

где - проекция отрезка на ось x.
Из рисунка 2 очевидно
Тогда

где - проекция отрезка на ось z.
Тогда
Рассуждая аналогично, можно получить

Угловая деформация (угол сдвига) в плоскости zox

В итоге, угловая деформация (угол сдвига) в плоскости zox

Аналогично могут быть написаны выражения для углов сдвига в двух других координатных плоскостях.
В итоге имеем следующую связь между перемещениями и деформациями в точке:
Совокупность деформаций, возникающих по различным осям и в различных плоскостях, проходящих через данную точку, носит название деформированного состояния в точке.

Возникает естественный вопрос, достаточно ли этих шести компонент, чтобы определить деформированное состояние, т. е. можно ли по этим шести компонентам найти удлинение по любой оси и углы сдвига в любых плоскостях, проходящих через данную точку.
Рассмотрим некоторую ось ν, проходящую через заданную точку (рис. 3). Направляющие косинусы прямой ν будут l, m, n.
Рис.3

Выделим на этой прямой малый отрезок OA=dL и построим на нем, как на диагонали, параллелепипед со сторонами dx, dy, dz (рис. 4).
Рис.4

(отрезок А′А′′ на рис.4)
Относительное удлинение диагонали получим, разделив это произведение на dL=dx/l

Рис.5

Диагональ OA получает абсолютное удлинение
(отрезок А′А′′ на рис.5)
Относительное удлинение диагонали получим, разделив это произведение на dL=dz/n
Остальные слагаемые можно написать по аналогии. Суммируя их, получим

Несколько сложнее определить угол сдвига в плоскости, определяемой двумя взаимно перпендикулярными прямы­ми ν и μ (рис. ). Для этого надо найти перемещение точки А по направлению μ и разделить его на dL. Это дает угол поворота отрезка dL в плоскости νμ. Затем все то же самое проделывается для отрезка, расположенного по оси ν. Сумма найденных углов дает искомый угол сдвига в плос­кости νμ. Но этих выкладок мы уже делать не будем. Глав­ное ясно. Деформированное состояние в точке определя­ется шестью компонентами.

Таким образом, анализ деформированного состояния показывает, что оно обладает свойствами, совершенно ана­логичными свойствам напряженного состояния.

Среди мно­жества осей, которые могут быть проведены через исследуе­мую точку, существуют три взаимно перпендикулярные оси, в системе которых угловые деформации отсутствуют. Эти оси называются главными осями деформированного состояния, а линейные деформации в этой системе — глав­ными деформациями.
Главные деформации определяются из кубического урав­нения

Коэффициентами уравнения (3) являются инварианты деформированного состояния:

Подобно кругам Мора в напряжениях, можно построить круги Мора в деформациях.
Анализ деформированного состояния основан на чисто геометрических соотношениях, и поэтому все сказанное остается справедливым для любого однородного тела, независимо от механических свойств материала.
Наряду с линейной и угловой деформациями в сопротивлении материалов приходится рассматривать иногда объемную деформацию, т. е. относительное изменение объема в точке.

Раскрывая скобки и пренебрегая произведениями линейных деформаций как величинами, малыми по сравнению с их первыми степенями, получим

Относительное изменение объема обозначается буквой е и равно сумме линейных деформаций по трем осям
С поворотом осей величина е в точке, очевидно, не меняется. Это — один из инвариантов деформированного состояния.

Обобщенный закон Гука
Между компонентами напряженного состояния, с одной стороны, и деформированного — с другой, существует определенная зависимость. В пределах малых деформаций эта зависимость является линейной и носит название обобщенного закона Гука. Наиболее простую форму обобщенный закон Гука принимает для изотропного тела. В этом случае коэффициенты пропорциональности между компонентами напряженного и деформированного состояний не зависят от ориентации осей в точке.

Для того чтобы составить аналитическое выражение обобщенного закона Гука, воспользуемся принципом независимости действия сил и рассмотрим раздельно силы, возникающие на гранях элементарного параллелепипеда (рис. 6)
Рис.6

Из этих выражений видно, что для изотропного тела главные оси напряженного и деформированного состояний совпадают, поскольку одновременно с касательными напряжениями обращаются в нуль и угловые деформации.

Подобно тому как угловые деформации не зависят от нормальных напряжений, линейные деформации не зависят от касательных напряжений. Это следует также и из теоремы взаимности работ. Нормальные напряжения не вызывают сдвига, на котором касательные силы могли бы совершить работу, то касательные напряжения не вызывают линейных смещений, на которых могли бы совершить работу нормальные силы.
Закон Гука при одноосном напряженном состоянии можно записать в виде
Воспользуемся этим соотношением и принципом независимости действия сил для того, чтобы получить закон Гука для трехосного напряженного состояния.

Рис.7
μ - коэффициент Пуассона.

Деформация удлинения в направлении оси x при совместном действии всех напряжений будет равна

Аналогичным образом определятся деформации в направлении других координатных осей. В итоге получим три уравнения связывающие осевые деформации и нормальные напряжения
(5)

Сложив левые и правые части выражений (5), получим выражение объемной деформации
Уравнения (4), (5) и (6), связывающие между собой компоненты тензоров напряжений и деформаций, составляют так называемый обобщенный закон Гука для изотропного тела.
Выражение объемной деформации (6) позволяет установить предельное значение коэффициента Пуассона для любого изотропного материала.

При положительном р величина е должна быть также положительной, при отрицательном р изменение объема будет отрицательным. Это возможно только в том случае, если μ≤0,5. Следовательно, значение коэффициента Пуассона для изотропного материала не может превышать 0,5.
Полученный вывод, несмотря на то, что он вытекает из частного случая напряженного состояния, является общим.

Потенциальная энергия деформации в общем случае напряженного состояния

Выражения остальных слагаемых внутренней энергии получаются простой перестановкой индексов. В итоге имеем
Если энергию отнести к единице объема dV=dxdydz, получим

Подставляя в последнее выражение формулы (4) и (5) получим:
или в главных напряжениях

Для того чтобы найти потенциальную энергию во всем объеме деформированного тела, выражение (7) следует умножить на элементарный объем и проинтегрировать по объему тела:
Выведем выражения для так называемой энергии изменения формы и энергии изменения объема. Деление внутренней потенциальной энергии на две указанные составляющие является условным и производится по следующему принципу.

Каждое из главных напряжений представляем в виде суммы двух величин
в результате чего напряженное состояние разбивается на два. Первое из них представляет собой всестороннее растяжение, а второе является дополнительным к нему до заданного напряженного состояния (рис. 8). Величина р подбирается с таким расчетом, чтобы изменение объема в дополнительном напряженном состоянии отсутствовало, т. е.

Рис.8
Складывая выражения (8), получим
При указанном условии система сил первого напряженного состояния (р) не производит работы на перемещениях, вызванных силами второго состояния.

Точно так же и силы второго напряженного состояния не производят работы на перемещениях первого. Взаимные работы отсутствуют, и внутренняя энергия разбивается на две части, соответст­вующие двум напряженным состояниям:
Подставляя в выражение (7) вместо всех главных напряжений величину р из (9), получим для первого состояния