Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой. Синтез БИХ-фильтров методом билинейного Z-преобразования''

Учебные цели:
Кафедра №2, ВАС
Изучить содержание билинейного Z-преобразования.
Изучить методику синтеза цифровых БИХ-фильтров при билинейном Z-преобразовании.

Учебные вопросы:
Кафедра №2, ВАС
Определение билинейного Z-преобразования.
Свойства билинейного Z-преобразования.
Методика синтеза БИХ-фильтров.

Литература для самостоятельной работы обучаемых:
Кафедра №2, ВАС
1. Основы цифровой обработки сигналов: Курс лекций./ Авторы: А. И. Солонина, Д. А. Улахович, С. М. Арбузов, Е. Б. Соловьёва/ Изд 2-е испр. и перераб. – СПб, БХВ, 2005. – 768 с. стр. 499 – 504, 507 – 516 .

Первый учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Определение билинейного Z-преобразования

Первый учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС

Первый учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС

Первый учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС

Второй учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Свойства билинейного Z-преобразования

Второй учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
1. Однозначное отображение p-плоскости на z-плоскость
Частотная ось однозначно отображается в единичную окружность:
Рис. 1. Отображение p-плоскости на z-плоскость при билинейном Z-преобразовании
0
-j
j
-1
1

Второй учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
1. Однозначное отображение p-плоскости на z-плоскость
Частотная ось однозначно отображается в единичную окружность:
Рис. 1. Отображение p-плоскости на z-плоскость при билинейном Z-преобразовании
0
-j
j
-1
1
Отображение точек на Z-плоскость:

Второй учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
1. Однозначное отображение p-плоскости на z-плоскость
Частотная ось однозначно отображается в единичную окружность:
Рис. 1. Отображение p-плоскости на z-плоскость при билинейном Z-преобразовании
0
-j
j
-1
1
Отображение точек на Z-плоскость:
Левая p-полуплоскость однозначно отображается внутрь единичного круга, а правая p-полуплоскость ⎯ вне его

Второй учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
1. Однозначное отображение p-плоскости на z-плоскость
Частотная ось однозначно отображается в единичную окружность:
Рис. 1. Отображение p-плоскости на z-плоскость при билинейном Z-преобразовании
0
-j
j
-1
1
Отображение точек на Z-плоскость:
Левая p-полуплоскость однозначно отображается внутрь единичного круга, а правая p-полуплоскость ⎯ вне его

Второй учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
2. Цифровой фильтр устойчив, если устойчив его аналоговый прототип.
3. Соотношение между аналоговыми Ω и цифровыми ω частотами принципиально нелинейно, т. е. шкала частот деформируется.

Второй учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
2. Цифровой фильтр устойчив, если устойчив его аналоговый прототип.
3. Соотношение между аналоговыми Ω и цифровыми ω частотами принципиально нелинейно, т. е. шкала частот деформируется.
Рис. 2. Связь между аналоговыми и цифровыми частотами

Второй учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
2. Цифровой фильтр устойчив, если устойчив его аналоговый прототип.
3. Соотношение между аналоговыми Ω и цифровыми ω частотами принципиально нелинейно, т. е. шкала частот деформируется.
Рис. 2. Связь между аналоговыми и цифровыми частотами
4. Сохраняются свойства оптимальности АЧХ аналогового прототипа вследствие однозначности отображения частотной оси в единичную окружность.
5. Порядок цифрового фильтра равен порядку аналогового прототипа, т. е. количество их полюсов одинаково. Количество нулей ЦФ совпадает с количеством нулей прототипа, учитывая и нуль прототипа на бесконечности.

Второй учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Пример 1

Второй учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Пример 1
6. Деформация шкалы частот означает, что метод билинейного Z-преобразования:
пригоден лишь в тех случаях, когда требования к АЧХ фильтра-прототипа задаются ступенчатой функцией частоты, что свойственно частотно-избирательным фильтрам (НЧ, ВЧ, ПФ, РФ);
не пригоден для синтеза корректирующих фильтров (фильтров с произвольными АЧХ), фильтров с линейной ФЧХ, хотя бы прототип и обладал таким свойством, а также для сохранения импульсной характеристики прототипа: ни фазочастотная, ни импульсная характеристики аналогового прототипа не сохраняются.

Третий учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Методика синтеза цифрового фильтра при билинейном Z-преобразовании

Третий учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Рис. 3. Задание требований к цифровому фильтру и аналоговому прототипу:
требования к ЦФ (а), преобразование цифровых частот
в аналоговые (б), требования к аналоговому прототипу (в)
1. Задаются требования к цифровому фильтру (рис. 3, а) с указанием типа аппроксимации АЧХ
2. Формулируются требования к аналоговому
прототипу (рис. 3, б, в).

Третий учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Рис. 3. Задание требований к цифровому фильтру и аналоговому прототипу:
требования к ЦФ (а), преобразование цифровых частот
в аналоговые (б), требования к аналоговому прототипу (в)
1. Задаются требования к цифровому фильтру (рис. 3, а) с указанием типа аппроксимации АЧХ
2. Формулируются требования к аналоговому
прототипу (рис. 3, б, в).
3. Рассчитываются по справочнику или аналитически (по формулам) нули и полюсы прототипа:
4. Нули и полюсы прототипа пересчитываются в z-область по формуле
5. По комплексно-сопряженным нулям и комплексно-сопряженным полюсам
формируются полиномы второй степени с вещественными коэффициентами, которые затем используются в качестве числителей и знаменателей биквадратных звеньев соответственно.

Третий учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС

Третий учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Рис. 4. Принцип объединения нулей и полюсов
в биквадратные звенья
6. По правилу близости добротностей нуля и полюса формируются К/2 биквадратных звеньев вида

Третий учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Рис. 4. Принцип объединения нулей и полюсов
в биквадратные звенья
6. По правилу близости добротностей нуля и полюса формируются К/2 биквадратных звеньев вида

Третий учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Рис. 4. Принцип объединения нулей и полюсов
в биквадратные звенья
6. По правилу близости добротностей нуля и полюса формируются К/2 биквадратных звеньев вида
8. Для каждого звена, во избежание переполнения его сумматора, рассчитывается коэффициент масштабирования

Заключение
Кафедра №2, ВАС
Изученный метод синтеза БИХ-фильтров используется очень широко, в том числе и для синтеза цифровых фазовых корректоров. Однако и у него есть свои ограничения на применения: невозможно синтезировать фильтры, согласованные с сигналом, амплитудные корректоры.