Групповая скорость волн. Дисперсия волн. Колебания и волны. 15

Бесконечная монохроматическая волна, уравнение которой имеет вид
не может быть использована для передачи информации.

Для того, чтобы волна могла переносить информацию, необходимо изменять со временем (модулировать) её параметры А, ω или ϕ. Соответственно существуют амплитудная, частотная и фазовая модуляции волны.

Рассмотрим волну с амплитудной модуляцией.
Для того, чтобы создавать волну, амплитуда которой изменяется со временем, источник волны должен совершать колебания то с большей, то с меньшей амплитудой, то есть в простейшем случае совершать биения.

Ранее было показано, что биения возникают при сложении двух однонаправленных гармонических колебаний, частоты которых ω1 и ω2 различны, но мало отличаются друг от друга:
Следовательно, источник, который совершает биения, создает две гармонические волны, бегущие в одном направлении, частоты которых ω1 и ω2.

Обе волны возбуждают одинаково направленные колебания в одних и тех же точках пространства.
Получим уравнение результирующей волны считая, что биения источника происходят при сложении гармонических косинусоидальных колебаний с нулевой начальной фазой и одинаковыми амплитудами.

«Фотография» полученной волны в некоторый момент времени имеет вид
Скорость перемещения в пространстве максимума волнового пакета (точка *) называется групповой скоростью Vгр волн, составляющих волновой пакет.

Огибающая волнового пакета определяется в уравнении модулированной волны членом

В процессе перемещения такой модулированной волны для точки, обозначенной звездочкой (*), постоянной остается фаза, стоящая в этом выражении:
Здесь x* - координата максимума волнового пакета.

Поставим задачу: выразить групповую скорость Vгр через циклические частоты ω1, ω2 и волновые числа k1, k2 волн, составляющих волновой пакет.

Итак, показано, что групповая скорость волн равна производной от циклической частоты по волновому числу:
Поставим задачу: найти связь групповой и фазовой скорости волны:

Итак, показано, что групповая скорость волны выражается через фазовую скорость формулой

Рассмотрим три случая:
1) Vф ≠ f(λ) – фазовая скорость не зависит от длины волны (явление дисперсии волн отсутствует);

2) Vф растет с ростом длины волны λ, то есть
(наблюдается нормальная дисперсия);

3) Vф уменьшается с ростом длины волны λ,
то есть
(наблюдается аномальная дисперсия).

Итак,
если дисперсия отсутствует, то групповая скорость волн равна фазовой
если наблюдается нормальная дисперсия, то групповая скорость волн меньше фазовой
если наблюдается аномальная дисперсия, то групповая скорость волн больше фазовой

Последовательные моментальные «фотографии» волнового пакета в моменты времени t1, t2, t3 а) нормальная дисперсия,
б) аномальная дисперсия.

График зависимости циклической частоты волны от волнового числа ω=f(k) называется дисперсионным.