Кинематики, динамика и законы сохранения

МЕХАНИКА
ЛЕКЦИЯ 1

Основная литература: Учебники
Трофимова Т.И. Курс физики: учеб. пособие для вузов. – 7-е изд., стер. – М.: Высш. школа, 2003. – 542 с.: ил.

Литература для практических и домашних заданий
Гладковский В.И. Пособие для самостоятельной работы по курсу «Физика» (Учебно-методическое пособие) − Брест: Изд-во БрГТУ, 2009.– 98 с.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. И.В. Савельев, Курс физики. ч.1;
2. А.А. Детлаф, Б.М.Яворский Курс физики.
3. Фейнмановские лекции по физике.

Контрольная работа №1,
ЧАСТЬ 1
"Кинематики, динамика и законы сохранения"
Вариант 999

Система, показанная на рисунке, состоит из грузов массами m1 и m2, которые движутся поступательно. К грузам прикреплены невесомые нерастяжимые нити, перекинутые или намотанные на блоки масса-ми m3 и m4, которые могут без трения вращаться вокруг горизон тальных осей. Блок массой m3 – сплошной цилиндр, а блок массой m4 – ступенчатый цилиндр с радиусами ступеней r4 и r3 одинаковой высоты.
Дано:
m1=7,0кг;
m2=0,80кг;
α=30º ;
m3=5,5кг;
m4=3,4кг;
μ=0,40;
r3=0.55 м; r4=0,55 м;
R4=1,25 м; τ=0,55 с

Система начинает движение из состояния покоя. Считая, что все нити и участки плоскостей имеют достаточную длину, выполнить следующие задания:
1). Найти ускорения грузов массами m1 и m2 и угловые ускорения блоков ε3, ε4. Принять r3=r4.
2). Найти силы натяжения всех нитей.
3). Найти силы реакции осей обоих блоков.
4). Найти скорости грузов, угловые скорости блоков и пути, пройденные грузами спустя время τ после начала движения.

5). Используя кинематические формулы, найти ускорение точки на внешнем радиусе блока m4 спустя время τ после начала движения по величине и направлению, если вначале эта точка находится в крайнем нижнем положении.
6). Найти относительную скорость грузов m1 и m2 по величине и направлению в указанный момент.
7). Используя закон изменения механической энергии, найти другим способом ускорения, скорости грузов, угловые ускорения и скорости блоков.

РЕШЕНИЕ:
1-2. Найдем ускорения грузов и силы натяжения нитей.
Определим направление движения системы, которая находится од действием сил тяжести грузов m1 и m2. Момент силы m2g на блоке 4 равен, m2gr4sin(α+15o)=0,80кг*10м/с2*0,55м /√2=6.25Нм. Момент силы от массы m1 на том же блоке равен m1gsin(α)R4 оказывается существенно больше. Следовательно, груз m2 будет двигаться вверх, а m1 - вниз по наклонным плоскостям. При этом сила трения будет действовать против движения грузов.

Силы натяжения нитей получились положительными. В действительности каждая из них - это пара сил, растягивающих нить в противоположные стороны. Таким образом, полученные ответы правдоподобны.
3. Вычислим силы реакции осей обоих блоков. Для этого сделаем перенос сил натяжения нитей, действующих на блоки в центры блоков. При переносе сил необходимо добавить соответствующие вращающие моменты. Эти моменты не вызывают сил реакции, поскольку трение на осях отсутствует. В результате мы получим на оси блока 4 картину сил, показанную на рисунке 2.

5. Определим полное ускорение точки на внешнем радиусе блока 4,
Это ускорение включает в себя две составляющие: тангенциальную и нормальную. Тангенциальная направлена по касательной к траектории т.е. к окружности 4 блока и равна
aτ=ε4R4=0.775 м/с2 (19)
Нормальная составляющая - это центростремительно ускорение, равное
an=-R4ω42= (20)
Знак "-" означает, что ускорение направлено против радиуса блока к его центру.

7. Используя закон изменения механической энергии найти другим способом скорости грузов и угловые скорости блоков в заданной точке их движения.
Допустим, что к какому-то моменту времени t после начала движения первый груз прошел путь s1. При этом он опустился по вертикали на высоту h1=s1*sin(α1). Поскольку грузы m1 и m2 связаны нерастяжимой нитью, второй груз пройдет путь s2=s1*r4/R4 и поднимется на высоту h2=s2*sin(α2) =s1*r4*sin(α2) /R4. Изменение потенциальной энергии грузов равно ΔU=m1*g*h1-m2*g*h2. Часть этой разностной энергии превратится в работу по преодолению трения, а оставшаяся часть - в кинетическую энергию грузов и блоков.

Выразим все энергии и работы через ускорение первого груза и время движения. Это позволит получить уравнение для а1, а не систему 7 уравнений с 7 неизвестными. Перемещение первого груза s1=a1t2/2. Высота, на которую он опустится h1=sin(α1)*( a1t2/2). Путь второго груза s2=s1*r4/R4 и высота, на которую он поднимется h2= sin(α2)* (a1t2/2)*r4/R4.
Освободившееся потенциальная энергия
ΔU=m1g sin(α1)*( a1t2/2) - m2g*sin(α2)* (a1t2/2)*r4/R4=
g*( a1t2/2)*(m1* sin(α1)- m2*sin(α2)* r4/R4)
Кинетическая энергия первого груза Т1=m1v12/2=m1a12t2/2
Кинетическая энергия второго груза Т2=m2v22/2=m2a12t2r42/(2R42)
Кинетическая энергия блока m3: T3=j3ω32/2=j3a12t2r42/(2r32R42)
Кинетическая энергия блока m4: T4= j4ω42/2=j4a12t2/(2R42)

Изменение потенциальной энергии будет обусловлено изменением высоты расположения грузов груз m1 опустится, пройдя с ускорением а1 путь - S вниз по наклонной плоскости. Длина пути определится формулой пути при равноускоренном движении S1=a1t2/2. Высота, на которую опустится груз равна h1=S1*sin(α). Изменение потенциальной энергии будет равно U1=m1gh1=sin(α1)*m1*g*a1*t2/2. Аналогичный подсчет изменения потенциальной энергии второго груза даст аналогичную формулу: U2=m2*g*h2=sin(α2)*m2*g*a2*t2/2. Поскольку второй груз поднимается, а первый опускается изменение потенциальной энергии всей системы будет равно разности U1-U2.