Колебания-2. Свободные затухающие колебания, их характеристики. Коэффициент затухания. Логарифмический декремент

Рассмотрим свободные (собственные) затухающие колебания. Система выведена из положения равновесия внешними силами и предоставлена самой себе. Она будет находится только под действием квазиупругой силы и силы сопротивления среды.
При малых скоростях Fсопр ~ v:
где r - коэффициент сопротивления.
Второй закон Ньютона:
где обозначены:
w0- частота, с которой совершались бы свободные колебания системы при отсутствии сопротивления среды, т.е. при r = 0- это собственная частота колебаний системы.
Гармонический осциллятор - размах колебаний (определяемый амплитудой) остаётся постоянным. При наличии сопротивления среды- размах колебаний уменьшается. Значит решение имеет вид:
где a(t) – некоторая функция времени.

Продифференцировав по времени получим:
Учитывая,
Получим:
Проинтегрировав:
Получим:
w вещественна, если w02 > β2, решение уравнения имеет вид:

График функции решения уравнения имеет вид:
Амплитуда меняется по гармоническому закону:
Скорость затухания колебаний определяется коэффициентом затухания –
Период затухающих колебаний:
С ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается.
- декремент затухания
- логарифмический декремент затухания

Логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в e раз.
Для характеристики колебательной системы используется также величина добротность:
Добротность пропорциональная числу колебаний Ne , совершаемых системой за время τ, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз.
Если колеблющаяся система сама управляет внешним воздействием, обеспечивая согласованность сообщаемых ей толчков со своим движением. Такая система называется автоколебательной, а совершаемые ею незатухающие колебания – автоколебаниями.

Вынужденными колебаниями называют колебания, которые возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы-вынуждающей силы.
Пусть вынуждающая сила изменяется по закону:
В системе ещё действуют квазиупругая сила и сила сопротивления среды, пропорциональная скорости v:
где f0=F0/m, β=r/2m – коэффициент затухания, w0=√km – собственная частота колебаний системы.
Общее решение складывается из суммы:
Общего решения однородного дифференциального уравнения:
где w´ = √w02-β2, α0 и α´- произвольные постоянные.
Частного решения неоднородного уравнения:
Вынужденные колебания, явление резонанса.

(1)
(2)
(3)
Колебание f0coswt- является суммой трёх гармонических колебаний: (1)(2)(3)
При этом амплитуда a удовлетворяет равенство:
Частное решение однородного уравнения:
За установление колебаний отвечает общее решение установления колебаний.

Из-за экспоненциального множителя с ростом t больший вклад оказывает только частное решение неоднородного уравнения
Гармонические колебания происходят с частой вынуждающей силы.
Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы.
Из-за экспоненциального множителя с ростом t больший вклад оказывает только частное решение неоднородного уравнения
Гармонические колебания происходят с частой вынуждающей силы.
Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы.