Механические колебания. Виды колебаний

§15. Механические колебания
I. Виды колебаний
Колебания — ФЯ — периодические изменения какой-либо ФВ во времени.
Колебательная система — система тел, в которой происходят колебания.
II. Свободные незатухающие (собственные) колебания
Пружинный маятник — груз (МТ) массы m, который может колебаться на пружине жёсткостью k.
Трения нет.

§15. Механические колебания
II закон Ньютона:
— дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний
Общее решение: — гармоническая функция
Подставим начальные условия: при t = 0 x = x0, vx = 0
Частное решение:

§15. Механические колебания

§15. Механические колебания
A — амплитуда колебаний — максимальное отклонение колеблющейся величины от равновесного значения.
ω0 — ФВ — циклическая частота
Выражение в скобках — фаза колебаний
φ — начальная фаза
Период T0 — ФВ — время, за которое колебательная система совершает одно полное колебание.
Частота ν0 — ФВ — число полных колебаний в единичный промежуток времени.
Энергия колебаний (механическая энергия колебательной системы):

§15. Механические колебания
Примеры
1. Математический маятник
Математический маятник — МТ, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити в однородном гравитационном поле.
II закон Ньютона:
(закон всемирного тяготения)
При малых углах sin φ ≈ φ

§15. Механические колебания
2. Физический маятник
Физический маятник — ТТ, которое может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точки этого тела, не являющиеся его ЦМ, в однородном гравитационном поле.
ОУДВД:
(закон всемирного тяготения)
При малых углах sin φ ≈ φ

§15. Механические колебания
III. Свободные затухающие колебания
Рассмотрим пружинный маятник.
Сила вязкого трения
II закон Ньютона:
β — коэффициент затухания
— дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний

§15. Механические колебания
1. Сильное затухание (β ≥ ω0)
Общее решение: — апериодическое решение
2. Слабое затухание (β < ω0)
Общее решение:
— циклическая частота затухающих колебаний

§15. Механические колебания
Амплитуда затухающих колебаний
Период затухающих колебаний (условный период)

§15. Механические колебания
IV. Вынужденные колебания
Рассмотрим пружинный маятник, находящийся под воздействием, описываемым периодической силой
II закон Ньютона:
— дифференциальное уравнение вынужденных гармонических колебаний
Общее решение (при β < ω0):

§15. Механические колебания
x1(t) быстро затухает → циклическая частота вынужденных колебаний равна Ω

§15. Механические колебания
Ωmin = 0
— резонансная циклическая частота
Резонанс — ФЯ — резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении циклической частоты вынуждающей силы к резонансной циклической частоте.