Модель с силами сцепления у вершины трещины. Модель Дагдейла

Для того, чтобы учесть релаксацию напряжений у вершины трещины, вводятся модели с силами сцепления.
y – межатомное расстояние; b0 – межатомное расстояние;
– - напряжение сцепления;
Зависимость между поверхностной энергией и напряжением сцепления выражается соотношением

Основные гипотезы концепции сил сцепления:
1) Длина зоны действия сил сцепления мала
по сравнению с длиной трещины, однако она
достаточна, чтобы применять методы механики
сплошных сред
2) Профиль трещины в зоне действия сил
сцепления и, следовательно, локальное
распределение напряжений сцепления не
зависят от приложенных внешних нагрузок и
являются постоянными материала для данных
условий температуры и скорости
деформирования.

Поля напряжений и перемещений можно представить в виде двух составляющих:
поля, соответствующие телу без трещины, на которое действует заданная внешняя нагрузка;
поля, соответствующие телу с трещиной, на берегах которой действуют напряжения , представляющие собой разность между напряжениями сцепления и приложенными внешними напряжениями.
Коэффициент интенсивности напряжений подобной модели можно получить, используя принцип наложения:
где - коэффициент интенсивности напряжений, связанный с внешней нагрузкой; - коэффициент интенсивности напряжений, связанный с силами сцепления

Модель Дагдейла.
Модель Дагдейла представляет действительную трещину длиной , от вершины которой физически бесконечно тонкая пластическая зона простирается на длину
(фиктивная длина трещины).
На длине силы сцепления имеют постоянное значение и равны пределу текучести .

Коэффициент интенсивности напряжений в случае «а» равен:
Коэффициент интенсивности напряжений в случае «б» составляет:
Требование, чтобы перемещения были равны нулю в вершине трещины длиной с, определяется соотношением
Это условие приводит к соотношению
откуда . Размер пластической зоны можно представить в форме ряда:
Здесь - челны числовой последовательности Эйлера. В случае можно использовать
где -коэффициент интенсивности напряжений для трещины длиной 2l.

Для расчёта перемещений вычисляется функция Вестергардера для случая «а» и для случая «б». Применяя принцип наложения можно написать . Функция примет вид
, z1 – комплексная переменная