Напряженность и потенциал

Существует и другой способ описания поля – с помощью потенциала.
Однако для этого необходимо сначала доказать, что силы электростатического поля консервативны, а само поле потенциально.

Рассмотрим поле, создаваемое неподвижным точечным зарядом q.
В любой точке этого поля на пробный точечный заряд q' действует сила F
Работа сил электростатического поля.

где F(r) – модуль вектора силы , – единичный вектор, определяющий положение заряда q относительно q', ε0 – электрическая постоянная.

Для того, чтобы доказать, что электростатическое поле потенциально, нужно доказать, что силы электростатического поля консервативны.
Из раздела «Физические основы механики» известно, что любое стационарное поле центральных сил является консервативным, т.е. работа сил этого поля не зависит от формы пути, а только от положения конечной и начальной точек.

Вычислим работу, которую совершает электростатическое поле, созданное зарядом q по перемещению заряда q' из точки 1 в точку 2.
Работа на отрезке пути dl равна:
где dr – приращение радиус-вектора при перемещении на dl;

Полная работа при перемещении из точки 1 в точку 2 равна интегралу:

Работа электростатических сил не зависит от формы пути, а только лишь от координат начальной и конечной точек перемещения. Следовательно, силы поля консервативны, а само поле – потенциально.

Если в качестве пробного заряда, перенесенного из точки 1 заданного поля в точку 2, взять положительный единичный заряд q, то элементарная работа сил поля будет равна:

Тогда вся работа равна:
Такой интеграл по замкнутому контуру называется циркуляцией вектора
Из независимости линейного интеграла от пути между двумя точками следует, что по произвольному замкнутому пути:
теорема о циркуляции вектора .

Для доказательства теоремы разобьем произвольно замкнутый путь на две части: 1а2 и 2b1. Из сказанного выше следует, что
(Интегралы по модулю равны, но знаки противоположны). Тогда работа по замкнутому пути:

Теорема о циркуляции позволяет сделать ряд важных выводов, практически не прибегая к расчетам.
Рассмотрим простой пример, подтверждающий это заключение.
1)Линии электростатического поля не могут быть замкнутыми. В самом деле, если это не так, и какая-то линия – замкнута, то, взяв циркуляцию вдоль этой линии, мы сразу же придем к противоречию с теоремой о циркуляции вектора : .
А в данном случае направление интегрирования в одну сторону, поэтому циркуляция вектора не равна нулю.

Работа и
потенциальная энергия
электростатическое поле потенциально.
Следовательно, можно ввести функцию состояния, зависящую от координат – потенциальную энергию.

Исходя из принципа суперпозиции сил ,
можно показать, что общая работа А будет равна сумме работ каждой силы:
Здесь каждое слагаемое не зависит от формы пути, следовательно, не зависит от формы пути и сумма.

Работу сил электростатического поля можно выразить через убыль потенциальной энергии – разность двух функций состояний:
Это выражение для работы можно переписать в виде:
Сопоставляя формулу получаем выражение для потенциальной энергии заряда q' в поле заряда q:

Потенциал. Разность потенциалов
Разные пробные заряды q',q'',… будут обладать в одной и той же точке поля разными энергиями W', W'' и так далее. Однако отношение будет для всех зарядов одним и тем же.
Поэтому можно вести скалярную величину, являющуюся энергетической характеристикой поля – потенциал:

Подставив в выражение для потенциала значение потенциальной энергии , получим выражение для потенциала точечного заряда:
Потенциал, как и потенциальная энергия, определяют с точностью до постоянной интегрирования.

физический смысл имеет не потенциал, а разность потенциалов, поэтому договорились считать, что потенциал точки, удаленной в бесконечность, равен нулю.
Когда говорят «потенциал такой-то точки» – имеют в виду разность потенциалов между этой точкой и точкой, удаленной в бесконечность.

Другое определение потенциала:
т.е. потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки в бесконечность
(или наоборот – такую же работу нужно совершить, чтобы переместить единичный положительный заряд из бесконечности в данную точку поля).
При этом , если q > 0.

Если поле создается системой зарядов, то, используя принцип суперпозиции, получаем:
Тогда и для потенциала или
т.е. потенциал поля, создаваемый системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.
А вот напряженности складываются при наложении полей – векторно.

Выразим работу сил электростатического поля через разность потенциалов между начальной и конечной точками:
Таким образом, работа над зарядом q равна произведению заряда на убыль потенциала:
где U – напряжение.

Формулу можно использовать для установления единиц потенциала:
за единицу потенциала принимают потенциал в такой точке поля, для перемещения в которую из бесконечности единичного положительного заряда необходимо совершить работу равную единице.
В СИ единица потенциала

Производными единицами эВ являются МэВ, ГэВ и ТэВ:
1 МэВ = 106 эВ = 1,60⋅10−13 Дж,
1 ГэВ = 109 эВ = 1,60⋅10−10 Дж,
1 ТэВ = 1012 эВ = 1,60⋅10−7 Дж.
Электрон - вольт (эВ) – это работа, совершенная силами поля над зарядом, равным заряду электрона при прохождении им разности потенциалов 1 В, то есть:

Связь между напряженностью и потенциалом
Изобразим перемещение заряда q` по произвольному пути l в электростатическом поле .
Работу, совершенную силами электростатического поля на бесконечно малом отрезке можно найти так:

С другой стороны, эта работа, равна убыли потенциальной энергии заряда, перемещенного на расстоянии dl:
отсюда

Для ориентации dl (направление перемещения) в пространстве, надо знать проекции на оси координат:
Определение градиента: сумма первых производных от какой-либо функции по координатам есть градиент этой функции
– вектор, показывающий направление наибыстрейшего увеличения функции.

Коротко связь между и φ записывается так:
или так:
где (набла) означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона
Знак минус говорит о том, что вектор направлен в сторону уменьшения потенциала электрического поля.

Вектор напряженности электрического поля Е направлен против направления наискорейшего роста потенциала:
n – единичный вектор нормали к эквипотенциальной поверхности ϕ = const

Безвихревой характер электростатического поля
Из условия следует одно важное соотношение, а именно, величина, векторного произведения для стационарных электрических полей всегда равна нулю. Действительно, по определению, имеем
,
поскольку определитель содержит две одинаковые строки.

Величина называется ротором или вихрем
Мы получаем важнейшее уравнение электростатики:
электростатическое поле –
безвихревое.

Согласно теореме Стокса, присутствует следующая связь между контурным и поверхностным интегралами:
где контур L ограничивающий поверхность S ориентация которой определяется направлением вектора положительной нормали :
Поэтому работа при перемещении заряда по любому замкнутому пути в электростатическом поле равна нулю.

Силовые линии и эквипотенциальные поверхности
Направление силовой линии (линии напряженности) в каждой точке совпадает с направлением .
Отсюда следует, что напряженность равна разности потенциалов U на единицу длины силовой линии.
Именно вдоль силовой линии происходит максимальное изменение потенциала. Поэтому всегда можно определить
между двумя точками, измеряя U между ними, причем тем точнее, чем ближе точки.
В однородном электрическом поле силовые линии – прямые. Поэтому здесь определить наиболее просто:

Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью.
Уравнение этой поверхности

Линии напряженности и эквипотенциальные поверхности взаимно перпендикулярны

Формула выражает связь потенциала с напряженностью и позволяет по известным значениям φ найти напряженность поля в каждой точке.
Можно решить и обратную задачу, т.е. по известным значениям в каждой точке поля найти разность потенциалов между двумя произвольными точками поля.

Интеграл можно брать по любой линии, соединяющие точку 1 и точку 2, ибо работа сил поля не зависит от пути.
Для обхода по замкнутому контуру получим:
т.е. пришли к известной нам теореме о циркуляции вектора напряженности: циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю.
Поле, обладающее этим свойством, называется потенциальным.

Из обращения в нуль циркуляции вектора следует, что линии электростатического поля не могут быть замкнутыми: они начинаются на положительных зарядах (истоки) и на отрицательных зарядах заканчиваются (стоки) или уходят в бесконечность

Там, где расстояние между эквипотенциальными поверхностями мало, напряженность поля наибольшая. Наибольшее электрическое поле в воздухе при атмосферном давлении достигает около 106 В/м.

Расчет потенциалов простейших электростатических полей
Рассмотрим несколько примеров вычисления разности потенциалов между точками поля, созданного некоторыми заряженными телами

Разность потенциалов между двумя бесконечными заряженными плоскостями

Мы показали, что напряженность связана с потенциалом
отсюда
где – напряженность электростатического поля между заряженными плоскостями
σ = q/S – поверхностная плотность заряда.

Чтобы получить выражение для потенциала между плоскостями, проинтегрируем выражение
При x1 = 0 и x2 = d

На рисунке изображена зависимость напряженности E и потенциала φ от расстояния между плоскостями.

Разность потенциалов между точками поля, образованного бесконечно длинной цилиндрической поверхностью
С помощью теоремы Остроградского-Гаусса мы показали, что

Тогда,т.к.
отсюда следует, что разность потенциалов в произвольных точках 1 и 2 будет равна:

Разность потенциалов между обкладками цилиндрического конденсатора

Т.к. , то

Таким образом, внутри меньшего цилиндра имеем , Е = 0, φ = const;
между обкладками потенциал уменьшается по логарифмическому закону,
вторая обкладка (вне цилиндров) экранирует электрическое поле и φ и Е равны нулю.

Разность потенциалов заряженной сферы (пустотелой)
Напряженность поля сферы определяется формулой

А т.к. , то

Разность потенциалов внутри диэлектрического заряженного шара
Имеем диэлектрический шар заряженный с объемной плотностью

Напряженность поля шара, вычисленная с помощью теоремы Остроградского-Гаусса:

Отсюда найдем разность потенциалов шара:
или

Потенциал шара: