О моделировании свойств нелинейной упругости с помощью различных мер деформаций и напряжений

Введение
В работе с целью изучения возможностей использования построенных голономных мер для описания свойств упругости при конечных деформациях было выделено пять пар энергетически сопряженных правых и левых голономных мер, в терминах которых построены 10 моделей упругих сред с определяющими соотношениями в форме закона Гука и исследовано повередение этих моделей в простейших квазистатических движениях: чисто объемная деформация, одноосное растяжение-сжатие, простой сдвиг.

Цели и задачи
Цель:
Исследование возможностей использования новых голономных мер для описания свойств упругости
Задачи:
Построение тензоров деформаций и напряжений для простейших квазистатических движений
Построение моделей упругих сред с определяющими соотношениями в форме закона Гука
Исследование полученных зависимостей

Основные обозначения

Рассмотрим новые тензоры деформаций и напряжений, определенные по формулам:

Будем рассматривать 10 моделей нелинейно упругих сред, свойства которых задаются соотношениями в форме закона Гука между энергетически сопряженными тензорами, а именно, правые модели:

Чисто объемная деформация
Рассмотрим квазистатическое равновесие тела под действием равномерно распределенной поверхностной нагрузки (всестороннего давления) при отсутствии массовых сил. Тензор истинных напряжений Коши S определяется равенством для его компонент:
Закон движения (деформацию) примем в виде:
где ?1 = ?2 = ?3 = ? - кратность удлинения. Посчитаем аффинор деформации:

И меры деформаций Коши ? и Фингера ?:
выразим левые и правые тензорные меры деформаций и напряжений через ?:

Подставив, тензоры деформаций и напряжений в закон Гука, найдем связь параметра нагружения p и параметра деформации (кратности удлинения) α:
Соответственно для правых и левых моделей
Изобразим полученные зависимости графически:

Для правых моделей:

Для левых моделей:

Одноосное растяжение-сжатие
Аналогично чисто объемной деформации запишем тензоры деформаций и напряжений, подставим в закон Гука и выразим параметры напряжения через параметры деформации:
Для правых моделей:
Закон движения примем в виде:
Тензор истинных напряжений имеет вид:

Для левых моделей:
Изобразим, полученные зависимости графически при фиксированном ν=0.5

Графики для правых моделей:

Для левых моделей:

Простой сдвиг
Закон движения примем в виде:
Получим зависимости ненулевых компонент тензора напряжений от γ:
Правые модели:

Левые модели:
Фиксируем λ=0 и построим графики:

Правые модели:

Левые модели:

Заключение
Все рассмотренные модели при развитых конечных деформациях заметно отличаются друг от друга не только количественно, но и качественно. Путем выбора различных тензоров деформаций и напряжений в рамках одной формы определяющих соотношений (здесь в форме закона Гука) можно существенно варьировать свойства моделей, получая широкий спектр для описания свойств нелинейно упругих сред.
Следует отметить, что при малых деформациях все модели совпадают друг с другом и выражают классические свойства линейной упругости, описываемые законом Гука.