Однородные уравнения. Уравнения, приводящиеся к однородным

§5. Однородные уравнения
Функция M(x , y) называется однородной степени m (или изме-
рения m), если ∀t ≠ 0 справедливо равенство
M(tx , ty) = tm ⋅ M(x , y) .
ПРИМЕРЫ однородных функций:

Дифференциальное уравнение первого порядка
y ′ = f(x , y)
называется однородным относительно x и y, если функция f(x , y) является однородной нулевой степени.
Дифференциальное уравнение
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
является однородным относительно x и y, если функции M(x , y) и N(x , y) – однородные функции одного и того же измерения.
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделя-
ющимися переменными заменой
Замечание. Некоторые однородные уравнения проще интегри-
руются с помощью замены

§6. Уравнения, приводящиеся к однородным
1. Уравнения вида
Рассмотрим уравнение (7)
Если c1 = c2 = 0 , то уравнение (7) будет однородным, т.к.
Пусть c1 ≠ 0 или c2 ≠ 0. Тогда уравнение (7) заменой переменных приводится либо к уравнению с разделяющимися переменными, либо к однородному.
Это зависит от определителя

а) Если Δ ≠ 0 , то (7) приводится к однородному уравнению.
Действительно, если Δ ≠ 0 , то система уравнений
имеет единственное решение x = α , y = β .
Сделаем в (7) замену переменных: x = t + α , y = z + β .
Тогда:
однородное уравнение

б) Если Δ = 0 , то уравнение (7) приводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Действительно, если Δ = 0 , то строки определителя Δ про-
порциональны (см. упражнение в курсе «Линейная алгебра»),
т.е. a2 = λa1 , b2 = λb1 .
Тогда
⇒ y ′ = ϕ(a1x + b1y) .
Это уравнение (6) (см. §4). Оно приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены
z(x) = a1x + b1y .