Теоретическая механика. Модуль 1. Раздел 3 – динамика точки

ДИНАМИКА ТОЧКИ
14.2
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Динамика - это раздел механики, в котором изучается движение материальных точек, тел и механических систем под действием приложенных сил
Основные законы механики
Первый закон (закон инерции)
Третий закон (закон равенства действия и противодействия)

14.3
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
ДИНАМИКА ТОЧКИ

14.4
Дифференциальные уравнения движения материальной точки
Дифференциальные уравнения движения точки
в проекциях на декартовые оси:
ДИНАМИКА ТОЧКИ

14.5
Дифференциальные уравнения движения материальной точки
ДИНАМИКА ТОЧКИ
Дифференциальные уравнения в проекциях на оси естественного трехгранника

15.2
Дифференциальные уравнения движения материальной точки
ДИНАМИКА ТОЧКИ
ДВЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
Первая задача динамики: по известному закону движения материальной точки находят приложенные к ней силы.
.
Вторая (основная) задача динамики: при известных действующих на материальную точку силах, определяют закон движения точки

15.3
Дифференциальные уравнения движения материальной точки
ДИНАМИКА ТОЧКИ
Решение задач динамики точки:
Первая задача
динамики:
Вторая задача
динамики:
составить и решать дифференциальные
уравнения движения материальной точки
выбрать систему координат и записать начальные условия;
изобразить движущуюся точку в произвольном положении и все действующие на точку силы;
составить дифференциальные уравнения движения точки;
проинтегрировать полученные уравнения, определив постоянные интегрирования из начальных условий.
найти искомые величины из полученных выражений.

15.4
Дифференциальные уравнения движения материальной точки
ДИНАМИКА ТОЧКИ
Лифт весом Р начинает подъем по закону:
y = at2.
Определить: натяжение троса Т
(P/g) 2a = T - P,
T = P (1 + 2a/g).
Если лифт опускается с таким же ускорением:
Т = Р (1 - 2а/g).

15.5
Дифференциальные уравнения движения материальной точки
ДИНАМИКА ТОЧКИ
Найти:
закон движения точки
при начальных условиях:
t=0, x=x0, vx=v0 .
Решение:
Учитывая, что Qx = Q :
vx = (Q/m) t+C1.
x = (Q/2m)t2+C1t+C2
v0 = C1, x0 = C2
x = x0 + v0 t + (Q/2m)t2.

16.2
Дифференциальные уравнения движения материальной точки
ДИНАМИКА ТОЧКИ
Свободные прямолинейные колебания материальной точки
Сила сопротивления R, зависящая от скорости движения
Возмущающая сила, т.е. сила, являющаяся заданной функцией времени.

16.3
Дифференциальные уравнения движения материальной точки
ДИНАМИКА ТОЧКИ
Свободные прямолинейные колебания материальной точки
если c/m = k2, то
дифференциальное уравнение свободных колебаний
при отсутствии сопротивления.

16.4
Дифференциальные уравнения движения материальной точки
ДИНАМИКА ТОЧКИ
Характеристическое уравнение:
x = ent
Свободные прямолинейные колебания материальной точки
общее решение
n2 + k2 = 0, n1,2 = ± ik
x = C1 sin kt + C2 cos kt,

16.5
Дифференциальные уравнения движения материальной точки
ДИНАМИКА ТОЧКИ
Свободные прямолинейные колебания материальной точки
A - амплитуда колебаний.
(kt+α)= ϕ - фаза колебаний.
α - начальная фаза колебаний.
k - круговая частота колебаний
Период колебаний Т - промежуток времени, в течение которого точка совершает одно полное колебание
T = 2π/k.
ν = 1/T = k/2π.
Частота колебаний ν – число колебаний, совершаемых за 1с

16.6
Дифференциальные уравнения движения материальной точки
ДИНАМИКА ТОЧКИ
Влияние постоянной силы на свободные колебания точки
P= const
F = cx
В точке равновесия при x= λст
F=P = сλст
Fx = - с(х + λст)
или
В результате

17.2
ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
Введение в динамику системы
Механическая система - совокупность материальных точек или тел, находящихся в механическом взаимодействии
Свойства внутренних сил:

17.3
ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
Центр масс механической системы
Центром масс (центром инерции) механической системы называется геометрическая точка С, координаты которой :
Радиус-вектор центра масс:

17.4
ТЕОРЕМА
О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
Дифференциальные уравнения движения центра масс в проекциях на оси координат
Для каждой точки системы

17.5
ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
Закон сохранения движения центра масс
1. Пусть сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю
2. Пусть сумма внешних сил системы, не равна нулю, но сумма их проекций на какую-нибудь ось равна нулю

17.6
ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
Примеры применения теоремы о движении центра масс
Действие пары сил на тело
Движение по горизонтальной плоскости

18.2
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
Количество движения
Количество движения механической системы
Количество движения твердого тела

18.3
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
Импульс силы
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
Единицей измерения импульса силы в системе СИ является 1 кг⋅м/с = 1 Н/с.

18.4
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
Дифференциальное уравнение движения точки

18.5
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
Для всех точек механической системы
Теорема об изменении количества движения системы:

17.10
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
Закон сохранения количества движения
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

19.2
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
Осевые моменты инерции тела
Iz=∑mkhk2
ρ - радиус инерции тела

19.3
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
Момент количества движения материальной точки

19.4
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
Теорема об изменении
момента количества движения точки
или

20.2
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
Кинетический момент системы
Кинетический момент вращающегося тела

20.3
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
Теорема об изменении кинетического момента механической системы
Если рассмотреть одну точку системы:
для всех точек системы:

20.4
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
следствия из теоремы:

20.5
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
Дифференциальное уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси

21.3
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
Работа силы. Мощность
Элементарная работа силы
Работа силы на конечном перемещении

21.4
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
Работа силы. Мощность
Если вектор силы спроецировать на оси координат
Единицей измерения работы в системе СИ является - 1 джоуль
(1 Дж = 1H⋅м = 1 кг⋅м2 /с2).
Единицей измерения мощности в системе СИ является ватт
(1 Вт = 1Дж/с). В технике - 1 л.с. = 736 Вт.

21.5
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
Примеры вычисления работы
Работа силы тяжести
z0 - z1 = h
Работа силы тяжести не зависит от формы траектории точки её приложения. Силы, обладающие таким свойством, называются потенциальными силами.

21.6
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
Работа силы. Мощность
Работа силы упругости
F = cλ = c|x| и Fx = -cx.

21.7
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
Работа силы. Мощность
Работа силы, приложенной к вращающемуся телу
dA = Mz dφ
dA = Fτ h dφ.

22.2
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
для материальной точки
Кинетическая энергия
Единица измерения кинетической энергии в системе СИ - 1 Дж.
для механической системы
из n материальных точек
Кинетическая энергия - скалярная величина

22.3
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
Кинетическая энергия
для твердого тела
Поступательное движение
Вращательное движение
Плоскопараллельное движение

22.4
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
maτ = ∑Fkτ.
Рассмотрим материальную точку с массой m