Теория линий влияния

Определение
силовых факторов
с помощью линий влияния
Определение с помощью линии влияния
значения силового фактора
от заданной нагрузки называется
загружением линии влияния.

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
НЕПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ
1. Сосредоточенная нагрузка F
F
yF
Л.В. S
SF = F* yF

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
НЕПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ
2. Сосредоточенный момент М
F
yF
Л.В. S
SM = M* tg αM
F = M / dx
yF + dy
dy
M
k
k
dx
αM
SM = SFl + SFr =
= ( –F )* yF + F* ( yF + dy ) =
= F* dy = ( M / dx )* dy =
= M* dy / dx = M* tg αM

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
НЕПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ
y (x)
Л.В. S
Sq = q* ωS
q (x)
dx
dSq = dF* y (x) =
= q (x) * y (x) * dx ;
x
q (x)
x
dF = q (x) * dx
а
ωS
При q (x) = const = q:
3. Распределённая нагрузка q

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
НЕПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ
Формула загружения л.в. S:
Правило знаков:
F > 0
yF > 0
Л.В. S
S = Σ F* yF + Σ M* tg αM + Σ q* ωS
q > 0
M > 0
ωS > 0
αM > 0

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
НЕПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ
F1
y1
Л.В. S
Использование статически эквивалентных преобразований нагрузок
Статически эквивалентное преобразование – замена группы сил
другой группой, имеющей такие же главный вектор и главный момент
(такую же равнодействующую), как и исходная.
Правило: загружение прямолинейного участка линии влияния
любыми статически эквивалентными нагрузками
даёт один и тот же результат.
F2
y2
a
c
R
yR

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
НЕПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ
F1
y1
Л.В. S
Использование статически эквивалентных преобразований нагрузок
Статически эквивалентное преобразование – замена группы сил
другой группой, имеющей такие же главный вектор и главный момент
(такую же равнодействующую), как и исходная.
Правило: загружение прямолинейного участка линии влияния
любыми статически эквивалентными нагрузками
даёт один и тот же результат.
F2
y2
a
c
R
yR
Л.В. S
F
F
F
F
F
q
q
b
b
d
d
F
li
Ri
Rn
R1
R2
yR1
yR2
yRi
yRn
R1 = F
R2 = 2(F + qb)
Ri = qli
Rn = 3F

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
ПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ
q
Л.В. S
Smax
x
Условие экстремума:
S(x)
x
Smin
Smax
Smin

Smax
Условие максимума:
S(x)
x
Smin
Условия максимума и минимума кусочной функции S(x)
S(x)
x
Smax
x0
x0
x*
Случай 1
Случай 2
x
x0
x*
Случай 1
S(x)
Случай 2
> 0 при x = x0 – dx
< 0 при x = x0 + dx
> 0 при x = x0 – dx
= 0 при x0< x < x*
< 0 при x = x* + dx
Условие минимума:
ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
ПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ

1. Сосредоточенная подвижная нагрузка F
F
yF (x)
Л.В. S
yF,max
yF,min
x
SF,max = F* yF,max
SF,min = F* yF,min
ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
ПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ

2. Подвижная полоса
распределённой нагрузки q
q
ωS (x)
Л.В. S
x
а
Sq,max = q* ωS,max
Sq,min = q* ωS,min
ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
ПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
ПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ
3. Распределённая нагрузка q
с произвольными разрывами
q
Sq,max = q* ωS,max = q* Σ ωS+
Sq,min = q* ωS,min = q* Σ ωS–
q
q
Л.В. S
q
q
q
q
q
Загружение
на Smax
Загружение
на Smin

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
ПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ
4. Подвижная система
параллельных сосредоточенных грузов
Л.В. S
F1
F2
…
Fn
a1
a2 …
x
x
S(x) = Σ Fi * yFi (x)
Smax
Smin
Полигональная
Л.В. S

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
ПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ
4. Подвижная система
параллельных сосредоточенных грузов
Полигональная Л.В. S
F1
F2
…
Fn
a1
a2 …
x
S(x) = Σ Fi * yFi
…
Fi
yF1
yF2
yFi
yFn
x
F1
F2
…
Fn
a1
a2 …
Fi
…
dx
dx
dyFi
yFi + dyFi
dyFi
dx
αi
S(x) + dS(x) = Σ [Fi * ( yFi + d yFi )]

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
ПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ
4. Подвижная система
параллельных сосредоточенных грузов dyFi
dx
αi
Σ Fi * dyFi
dyFi = dx * tg αi
dS(x) = dx * Σ (Fi* tg αi )
dS(x) = Σ [Fi * ( yFi + d yFi )] –
Σ Fi * yFi =

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
ПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ
4. Подвижная система
параллельных сосредоточенных грузов
Полигональная Л.В. S
F1
F2
…
Fn
xcr
…
Fcr
Груз, при расположении которого над вершиной
линии влияния фактора S значение S от действия
системы параллельных сосредоточенных грузов
становится экстремальным ( Smax или Smin ),
называется критическим грузом.

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
ПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ
4. Подвижная система
параллельных сосредоточенных грузов
Частный случай полигональной Л.В. S – треугольная
…
a
x
b
l
ув
αl
αr
F1
F2
Fn
…
F1
F2
…
Fn
Fcr
…
ΣFl
ΣFr
tg αl = yв /a
tg αr = – yв / b
xcr

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
ПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ
4. Подвижная система
параллельных сосредоточенных грузов
F1
F2
…
Fn
a
xcr
Fcr
…
b
l
ΣFl
ΣFr
ув
αr
αl
tg αl = yв /a
tg αr = – yв / b
dx
При x = xcr – dx :
dS(x) = (ΣFl + Fcr ) * tg αl +
+ ΣFr * tg αr =
= yв * [(ΣFl + Fcr ) /a –
– ΣFr / b],
dS(x) > 0
dx

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
ПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ
4. Подвижная система
параллельных сосредоточенных грузов
F1
F2
…
Fn
a
xcr
Fcr
…
b
l
ΣFl
ΣFr
ув
αr
αl
tg αl = yв /a
tg αr = – yв / b
dx
При x = xcr + dx :
dS(x) = ΣFl * tg αl +
+ ( Fcr + ΣFr ) * tg αr =
= yв * [ΣFl /a –
– (Fcr + ΣFr )/ b],
dS(x) < 0
dx

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
ПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ
4. Подвижная система
параллельных сосредоточенных грузов
Критерий определения критического груза в случае треугольной линии влияния
F2
…
F1
…
Графическая интерпретация критерия
Fn
F1
F2
Fn
Fcr
параллельно

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
ПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ
4. Подвижная система
параллельных сосредоточенных грузов
Критерий определения критического груза в случае треугольной линии влияния
F2
…
F1
…
Графическая интерпретация критерия
Fn
F1
F2
Fn
Fcr
параллельно

ЗАГРУЖЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
ПОДВИЖНЫМИ НАГРУЗКАМИ
4. Подвижная система
параллельных сосредоточенных грузов
Критерий определения критического груза в случае треугольной линии влияния
F2
…
F1
…
Критерий можно применить:
Fn
F1
F2
Fn
Fcr
параллельно
F2
F1
Fn
Критерий
неприменим:

М а т р и ц ы в л и я н и я
Задача: определить силовые факторы S1 , S2 ,…, Si ,…, Sn от нагрузки,
состоящей из сосредоточенных сил F1 , F2 ,…, Fj ,…, Fm .
A
B
F1
F2
Fj
Fm
1
2
Например, S1= RA , S2 = Q1 , Si = M2 , Sn = MB
Л.В. Si
y1i
y2i
yji
ymi
Определение Si с помощью линии влияния:
В матричной форме: Si = [ y1i y2i …yji …ymi ]*
λSi
матрица (строка) влияния
силового фактора Si
F
матрица
( вектор )
нагрузок
Si = λSi*F
Л.В. S2
y12
y22
ym2
Все искомые силовые факторы:
S = ΛS* F
=
ΛS
( n x m )
ΛS
матрица влияния
силовых факторов S
Матрица влияния силовых факторов – это матрица, строки которой состоят
из ординат линий влияния искомых силовых факторов
в точках приложения сосредоточенных нагрузок.
yj2
( M2 )
( Q1 )

М а т р и ц ы в л и я н и я
Общий случай загружения
( сосредоточенные и распределённые, силовые и моментные нагрузки )
A
B
F1
F2
Fj
Fm
q
A
B
F1y
F2y
Fjy
Fmx
qy
x
y
qx
Fjx
F2x
M
M
Разложение нагрузки
на составляющие
в общей системе координат
Замена заданных нагрузок расчётными узловыми нагрузками
( сосредоточенными силами в расчётных точках загружения )
Расчетные
точки
загружения:
1. Границы дисков (узлы)
2. Места сечений с искомыми
внутренними усилиями
3. Любые точки
необходимые;
для СОС – и достаточные
– дополнительные ( нужны для обеспечения требуемой
точности при нелинейных Л.В. в СНС )
Способ приведения
заданных нагрузок
к расчётным точкам –
статически эквивалентное
преобразование в пределах расчётного участка
j
j + 1
j
j + 1
j
Rj
aj
bj
Fj, j
Fj, j + 1
Rj = Σ yF(j);
aj = Σ mj,F(j)/Rj
Равнодействующая:
эквивалентные
расчётные
узловые
нагрузки
( в случае линейной Л.В.
результат – точный )

М а т р и ц ы в л и я н и я
Общий случай загружения
( сосредоточенные и распределённые, силовые и моментные нагрузки )
A
B
F1y
F2y
Fjy
Fmx
qy
x
y
qx
Fjx
F2x
M
Разложение нагрузки
на составляющие
в общей системе координат
Замена заданных нагрузок расчётными узловыми нагрузками
( сосредоточенными силами в расчётных точках загружения )
Расчётные
точки
загружения:
1. Границы дисков (узлы)
2. Места сечений с искомыми
внутренними усилиями
3. Любые точки
необходимые;
для СОС – и достаточные
– дополнительные ( нужны для обеспечения требуемой
точности при нелинейных Л.В. в СНС )
Способ приведения
заданных нагрузок
к расчётным точкам –
статически эквивалентное
преобразование в пределах расчётного участка
j
j + 1
j
j + 1
j
Rj
aj
bj
Fj, j
Fj, j + 1
Rj = Σ yF(j);
aj = Σ mj,F(j)/Rj
Равнодействующая:
эквивалентные
расчётные
узловые
нагрузки
S = ΛS* F
ΛS = [ ΛSx ΛSy ΛSz ]
От Fx= 1
От Fy= 1
От Fz= 1
В общем случае пространственной системы
( в случае линейной Л.В.
результат – точный )

М а т р и ц ы в л и я н и я
Замена заданных нагрузок расчётными узловыми нагрузками
Расчётные точки загружения и участки:
Rq= 60
П р и м е р
1
2
А
2 м
2
2
2
2
3
3
4
2
q = 10 кН/м
q = 10 кН/м
М = 20 кН*м
F = 60 кН
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
5
4
6
q
F = 60
30
30
40
20
q
R2= 20
16
4
q
R4= 20
10
10
q
M
Rq= 40
20
20
5
5
F1,1= 50
F2,1= 70
F2,2= 16
F3,2= 4
F3,3= 0
F4,3= 0
F7,6= 0
F7,5= 25
F6,5= 15
F6,4= 10
F5,4= 10
F8,6= 0
F1= 50
F2= 86
F3= 4
F5= 10
F4= 0
F6= 25
F7= 25
F8= 0
Вектор
расчетных
узловых
нагрузок:
1
2
3
4
5
6
7
8
Расчётные
точки
загружения

М а т р и ц ы в л и я н и я
Формирование матрицы влияния искомых силовых факторов
Расчётные точки загружения и участки:
П р и м е р
1
2
А
2 м
2
2
2
2
3
3
4
2
q = 10 кН/м
q = 10 кН/м
М = 20 кН*м
F = 60 кН
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
5
4
6
1
2
3
4
5
6
7
8
Л.В. VA
Л.В. M1
Л.В. Q2
1
1
1,5
1,333
1
0,667
0,333
0,167
0,5
0,5
0,5
1
0,333
0,333
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Расчётные точки загружения:

РАСЧЁТНЫЕ УСИЛИЯ И ОБЪЕМЛЮЩИЕ ЭПЮРЫ
F
Расчётным значением силового фактора S ( расчётным усилием ) называется
его экстремальное ( максимальное Smax или минимальное Smin ) значение
от совместного действия постоянной нагрузки и временных воздействий,
каждое из которых занимает невыгоднейшее ( опасное ) – соответственно
по максимуму или минимуму фактора S – положение на сооружении.
q
p
F1
F2
F3
x
xl
xr
Постоянная (const) нагрузка
Временные (temp) нагрузки
Sconst
Stemp
Stemp= Σ Stemp, i
( = Stemp( x, xl , xr ) )
График изменения расчётных усилий
Smax и Smin по длине элементов
( или их объему – для нестержневых элементов ) называется
объемлющей эпюрой силового фактора S.
Объемлющая эпюра S ( эпюра Sрасч )
имеет две ветви – Smax и Smin ;
которые являются границами области возможных значений силового фактора S
( значений S при произвольных положениях
временных нагрузок ):
Smax
Smin

РАСЧЁТНЫЕ УСИЛИЯ И ОБЪЕМЛЮЩИЕ ЭПЮРЫ
Расчётным значением силового фактора S ( расчётным усилием ) называется
его экстремальное ( максимальное Smax или минимальное Smin ) значение
от совместного действия постоянной нагрузки и временных воздействий,
каждое из которых занимает невыгоднейшее ( опасное ) – соответственно
по максимуму или минимуму фактора S – положение на сооружении.
Mmax
Mmin
А л г о р и т м
определения расчётных усилий
и построения объемлющей эпюры
П р и м е р - иллюстрация
F1
F2
F
q
p
const
temp
1. Назначаются сечения 1, 2, …, j, …, m
в которых будут определяться расчётные
усилия ( расчётные сечения ).
2. В назначенных сечениях определяются
усилия от постоянной нагрузки Sj,const
( j = 1, 2, …, m ) – строится эпюра Sconst .
1
2
3 …
… j …
… m
Эпюра Mconst
Mj, const
M2, const
Построение объемлющей эпюры М
3. Строятся линии влияния усилий в назна-
ченных сечениях – Л.В. Sj ( j = 1, 2, …, m ).
Л.В. Mj
4. Каждая Л.В. Sj ( j = 1, 2, …, m ) загружает-
ся временными нагрузками на max и min
усилия. Определяются Sj, temp, max и Sj, temp, min .
F1
F2
F1
F2
p
p
p
5. Для каждого сечения ( j = 1, 2, …, m )
вычисляется пара расчётных значений
Sj, max и S j, min .
6. По найденным парам расчётных усилий во
всех сечениях строится объемлющая эпюра S .
Эпюра Mрасч
Mj, temp, max
Mj, temp, min
Mj, max
Mj, min

РАСЧЁТНЫЕ УСИЛИЯ И ОБЪЕМЛЮЩИЕ ЭПЮРЫ
Mmax
Mmin
А л г о р и т м
определения расчётных усилий
и построения объемлющей эпюры
П р и м е р - иллюстрация
F1
F2
F
q
p
const
temp
1. Назначаются сечения 1, 2, …, j, …, m
в которых будут определяться расчётные
усилия ( расчётные сечения ).
2. В назначенных сечениях определяются
усилия от постоянной нагрузки Sj,const
( j = 1, 2, …, m ) – строится эпюра Sconst .
1
2
3 …
… j …
… m
Эпюра Mconst
Mj, const
M2, const
Построение объемлющей эпюры М
3. Строятся линии влияния усилий в назна-
ченных сечениях – Л.В. Sj ( j = 1, 2, …, m ).
Л.В. Mj
4. Каждая Л.В. Sj ( j = 1, 2, …, m ) загружает-
ся временными нагрузками на max и min
усилия. Определяются Sj, temp, max и Sj, temp, min .
F1
F2
F1
F2
p
p
p
5. Для каждого сечения ( j = 1, 2, …, m )
вычисляется пара расчётных значений
Sj, max и S j, min .
6. По найденным парам расчётных усилий во
всех сечениях строится объемлющая эпюра S .
Эпюра Mрасч
Mj, temp, max
Mj, temp, min
Mj, max
Mj, min
З а м е ч а н и е: для выполнения практических расчётов конструкций на прочность
при сложном сопротивлении, кроме расчётных усилий (в первую очередь,
изгибающих моментов), необходимы также возникающие одновременно с ними
( при той же комбинации воздействий ) другие силовые факторы –
поперечные и продольные силы, а в пространственных системах также крутящие моменты:
Мрасч
Qсоотв , Nсоотв

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы
( в скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы;
для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*);
для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши
и выбрать «Перейти к слайду 32» )
1. Какая операция называется загружением линии влияния? ( 2 )
2. По каким формулам с помощью линии влияния вычисляется силовой фактор S
а) от сосредоточенной нагрузки F? ( 3 ) б) от сосредоточенного момента М? ( 4 )
в) от распределённой нагрузки q(x)? ( 5 ) г) от равномерно распределённой нагрузки? ( 5 )
3. Правила знаков, используемые в операции загружения линии влияния – ? ( 6 )
4. Что такое статически эквивалентное преобразование нагрузок ( 7 )
и как его можно использовать при загружении линий влияния? ( 8 )
5. Условие экстремума силового фактора S при действии подвижной нагрузки – ? ( 9 )
6. Как записываются условия максимума и минимума S в случае кусочно-линейной
линии влияния? ( 10 )
7. Как определяются опасные положения подвижных нагрузок и соответствующие им экстремальные значения фактора S в случаях:
а) одиночной сосредоточенной подвижной силы F? ( 11 )
б) подвижной полосы равномерно распределённой нагрузки q? ( 12 )
8. Как располагается равномерно распределённая нагрузка q с произвольным разрывами при загружениях на максимум и минимум силового фактора S? ( 13 )
9. Критерий опасного положения подвижной системы параллельных сосредоточенных сил в случае полигональной линии влияния – ? ( 16 )
10. Что такое критический груз? ( 17 )
11. Критерий опасного положения подвижной системы параллельных сосредоточенных сил
в случае треугольной линии влияния: а) аналитическое выражение критерия – ? ( 18–21 )
б) графическая интерпретация критерия – ? ( 21, 22 )
12. Каковы ограничения в использовании критерия определения критического груза
при треугольной линии влияния? ( 23 )
____________________________________________________________
*) Только в режиме «Показ слайдов»