Теория механизмов и машин

Оглавление
Кинематика точки.
Дифференцирование вектора постоянного модуля…………………………………………………………………………….……………………..3
Кинематика точки в декартовой системе координат.……………………………………………………………………………………………...9
Кинематика точки в прямоугольной системе координат ………………………………………………………………………………….……..13
Кинематика точки в естественной системе координат ……………………………………………………………………...………………....16
Сложное движение точки…………………………………………………………………………………………………….……...…………………..21
Кинематика твёрдого тела. Теория механизмов и машин.
Кинематика твёрдого тела……………………………………………………………………………………………………………...……………...27
Поступательное движение твёрдого тела…………………………………………………………………………………..………………………29
Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси………………………………………………………………....................................…...…31
Плоскопараллельное движение…………………….………………………………………………………………………………………………...…36
Введение в ТММ………………………………………………………………………………………………………………………………..…………..45
Структурный Анализ и Синтез………………………………………………………………………………………………………………….……..54
ДЗ №1…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…….59
ДЗ №2……………………………………………………………………………………………………………………………………………..………….67
ДЗ №3…………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………..71
Список литературы…………………..……………..………….. ………….. ………….. ………….. ………….. ………….. ………….. ………....78

Понятие вектора и производной
Рис. 1.1.1
Графическое изображение вектора и его обозначение

Вектор-функции

Пространственная линия – годограф радиуса-вектора
Рис. 1.1.2
Пример вектор-функций (вверху слева) и изображений годографа

Геометрический и физический смысл
Рис. 1.1.3
К геометрическому смыслу производной
S
M
y
x
z

Рис. 1.1.4

Материальная точка – идеализированная физическая модель, обладающее массой тело, размерами, формой, вращением и внутренней структурой которого можно пренебречь в условиях исследуемой задачи.
Для произвольной точки в пространстве радиус-вектор — это вектор, идущий из начала координат в эту точку (рис. 1.2.1).
Геометрическое место последовательных положений движущейся точки называется ее траекторией. Также можно связать понятие траектории с понятием годографа: траектория точки есть годограф ее радиуса-вектора (рис. 1.2.2).
Скорость материальной точки есть физическая величина, характеризующая быстроту её движения, то есть быстроту изменения положения радиуса-вектора в единицу времени. Ожидаемо, выражается как его первая производная по времени.
Аналогично, ускорение материальной точки есть физическая величина, характеризующая быстроту изменения её скорости в единицу времени.
Материальная точка и годограф
Рис. 1.2.1
Рис. 1.2.2

Кинематика в ДСК
Рис. 1.2.3

Формулы скорости и ускорения в ДСК
Рис. 1.2.4

Выводы
Иногда производить описание движения тела проще в декартовых координатах. Таким образом, мы получаем удобный аппарат для описания кинематических характеристик материальных точек, в котором для вычисления производных вектор-функций скалярного аргумента (времени) осуществляем их покоординатное дифференцирование.
Формулы скорости и ускорения в ДСК

Полярная система координат
Рис. 1.3.1
или
(1.3.1)

Рис. 1.3.2
Определение Скорости в ПСК

Определение Ускорения в ПСК
Рис. 1.3.3

Для определения закона движения точки в естественной системе координат нам необходимо:
Знать траекторию движения точки
Установить начало отсчета на этой кривой в некоторой неподвижной точке O
Установить положительное направление движения (как правило, соответствует увеличению времени)
Задать закон движения точки М по этой кривой, т.е. выразить зависимость расстояния S от начала отсчета до положения точки на кривой в данный момент от времени: S = S(t)
При естественном способе задания движения осями служат касательная, нормаль и бинормаль к траектории движения точки в каждом ее положении.
Радиусом кривизны называют величину, обратную кривизне K (рис. 1.4.2). Более подробно про кривизну кривой расскажем далее.
Естественная система координат
Рис. 1.4.1
Рис. 1.4.2

Касательная, главная нормаль и радиус кривизны

Кривизна и радиус кривизны плоской кривой

Определение скорости и ускорения
Рис. 1.4.3

Определение скорости и ускорения
Рис. 1.4.4

Определение сложного движения
Рис. 1.5.1

Движение точки M по отношению к неподвижной системе отсчета – абсолютное движение. Её скорость и ускорение по отношению к неподвижным осям называются соответственно абсолютной скоростью и абсолютным ускорением.
Движение точки относительно подвижной СК называется относительным движением. Скорость и ускорение точки М по отношению к подвижным осям называются относительной скоростью и относительным ускорением.
Движение подвижной СК вместе с неизменно связанными с ней геометрическими точками относительно неподвижной СК называется переносным движением. Переносной скоростью и переносным ускорением называются скорость и ускорение относительно неподвижной СК точки М’, неизменно связанной с подвижными осями, с которой
совпадает в данный момент времени движущаяся точка М.
Основные кинематические характеристики

Теорема о сложении скоростей
Рис. 1.5.2

Теорема о сложении скоростей

Рис. 1.5.3
Теорема о сложении ускорений

Теорема о сложении ускорений

Твёрдое тело (ТТ) – система материальных точек.
Абсолютно твёрдое тело – идеализированная механическая система материальных точек, у которой взаимные расстояния между всеми точками постоянны.
Свободное твёрдое тело – тело, на которое не наложено никаких связей, кроме тех, что обеспечивают постоянство расстояний между точками.
Число степеней свободы твёрдого тела – число независимых движений, которое может совершать тело.
Если на тело наложены только геометрические связи, которые накладывают ограничения на координаты точек, то число степеней свободы тела будет равно числу его независимых координат.
Кинематика Твёрдого тела

Рис. 2.1.1
К доказательству основной теоремы кинематики ТТ
Основная теорема кинематики твёрдого тела

Поступательное движение ТТ – такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной самой себе.
При поступательном движении тело имеет 3 или менее степеней свободы.
Свойства поступательного движения можно сформулировать с помощью теоремы: при поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.
Рис. 2.2.1
Поступательное движение ТТ
Поступательное движение твердого тела

Рис. 2.2.2
к теореме поступательного движения ТТ
Доказательство теоремы поступательного движения

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Рис. 2.3.1
вращательное движение тела
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Рис. 2.3.2
к определению направления углового ускорения
(вращение вокруг неподвижной оси)
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Рис. 2.3.3
Кинематика точки ТТ в ЕСК
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Рис. 2.3.4
к векторному представлению кинематических характеристик точки ТТ
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Определение
Плоскопараллельным (или просто плоским) движением твёрдого тела называют такое движение, при котором все точки перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.
Рассмотрим сечение (S) тела какой-нибудь плоскостью Оху, параллельной плоскости П. При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие на прямой ММ’ (они перпендикулярны к сечению (S), то есть к плоскости П) движутся тождественно и в каждый момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения. Поэтому для изучения движения всего тела достаточно изучить, как движется сечение S тела в плоскости Оху.
Рис. 2.4.1
К определению ПП движения
Плоскопараллельное движение твёрдого тела

Рис. 2.4.2
К уравнениям движения
Плоскопараллельное движение твёрдого тела

Рис. 2.4.3
Плоское движение как сумма поступательного и вращательного
Плоскопараллельное движение твёрдого тела

Рис. 2.4.4
К кинематике плоского движения
Плоскопараллельное движение твёрдого тела

Рис. 2.4.5
К теореме о представлении скоростей
Плоскопараллельное движение твёрдого тела

Плоскопараллельное движение твёрдого тела

Мгновенный центр скоростей
Рис. 2.4.6

Мгновенный центр ускорений
Так, ускорение любой точки тела есть векторная сумма ускорения полюса и ускорения точки вокруг полюса (которое, в свою очередь, имеет нормальную и тангенциальную составляющую). В отличие от случая МЦС, ускорение точки вокруг полюса, вообще то говоря, не перпендикулярно прямой, соединяющей точку и полюс. Это вызвано наличием нормального ускорения и хорошо прослеживается при выведении формулы (2.4.8).

Мгновенный центр ускорений
Рис. 2.4.7
Мгновенный центр ускорений

Основные понятия ТММ
Теория механизмов и машин занимается созданием и изучением высокопроизводительных механизмов и машин.
Механизм – совокупность подвижных материальных тел, одно из которых закреплено, а все остальные совершают вполне определенные движения относительно неподвижного материального тела.
Целью работы механизма является преобразование одного вида движения в другой.
Звенья – твёрдые тела, из которых состоит механизм. Жидкости и газы в ТММ звеньями не считаются.
Стойка – неподвижное звено. Конфигурация стойки в курсе ТММ не изучается.
Звено, которому изначально сообщается движение, называется входным (начальным, ведущим). Число входных звеньев обычно равно числу степеней свободы механизма, т. е. числу его обобщенных координат, но возможно и несовпадение их.
Звено, совершающее движение, для выполнения которого предназначен механизм – выходное звено.
Машина – техническое устройство, выполняющее преобразование энергии, материалов и информации с целью облегчения физического и умственного труда человека, повышения его качества и производительности. Дадим краткую классификацию:
Энергетические машины – преобразуют энергию одного вида в энергию другого вида. В зависимости от вида входной и выходной энергии разделяются на двигатели и генераторы.
Рабочие машины – машины, использующие механическую энергию для совершения работы по перемещению и преобразованию материалов.
Информационные машины - машины, предназначенные для обработки и преобразования информации.
Кибернетические машины – управляют рабочими или энергетическими машинами, способны изменять программу своих действий в зависимости от состояния окружающей среды.

Разновидности звеньев
Звено – либо одна деталь, либо совокупность нескольких деталей, соединенных в одну кинематически неизменяемую систему. Их различают по конструктивным признакам (коленвал, шатун, поршень, зубчатое колесо и т. д.) и по характеру движения.
Так, звено, вращающееся на полный оборот вокруг неподвижной оси – кривошип, при неполном обороте – коромысло.
Звено, совершающее поступательное прямолинейное движение – ползун.
Звено, совершающее плоское движение – шатун.
Понятие неподвижности стойки для механизмов транспортных машин, например, летательных аппаратов или баллистических ракет, условно, ведь в таком случае сама стойка движется.
Более полный список звеньев с характером движения находится в таблице на рис. 2.5.1.
Рис. 2.5.1
Основные виды звеньев по характеру движения

Кинематические пары и цепи
Кинематическая пара – подвижное соединение звеньев, допускающее их относительное движение. Все кинематические пары на схеме обозначают буквами латинского алфавита, например A, B, C и т.д.
Элемент пары – совокупность поверхностей, линий и точек звена, входящих в соприкосновение (контакт) с другим звеном пары.
Если кинематическая пара вращательная (звенья образующие эту пару вращаются относительно друг друга), то она изображается A или B (рис. 2.5.2).
Если же одно звено движется поступательно относительно другого звена, то такая пара называется поступательной и изображается C.
Каждому звену присваивают свой номер: первый номер имеет входное звено, последний номер - стойка.
Звенья бывают простые (состоят из одной детали) и сложные (состоят из нескольких деталей, жестко скрепленных друг с другом и совершающих одно и то же движение).
Рис. 2.5.2 Кривошипо-ползунный механизм
1 – Кривошип. 2 – Шатун. 3 – Ползун. 4 – Стойка.
Кинематическая цепь – система звеньев, образующих между собой кинематические пары. Различают замкнутые и разомкнутые цепи.
В замкнутой цепи каждое звено входит не менее чем в две кинематические пары.
В незамкнутой же цепи есть звенья, входящие только в одну кинематическую пару.

Классификация кинематических пар

Классификация кинематических пар (продолжение)
Цилиндрическая пара (рис. 2.5.3, в) – двухподвижная (2 ц), низшая, допускает независимые поступательное и вращательное относительные движения звеньев.
Сферическая пара (рис. 2.5.3, г) – трехподвижная (3 с), низшая, допускает 3 независимых относительных вращения звеньев вокруг осей x, y, z.
Примеры четырёх- и пятиподвижной пар и их условные обозначения (4 л и 5 т) находятся на рис. 2.5.3, д, е. Возможные независимые движения звеньев показаны стрелками. Это высшие пары, поскольку контакт элементов звеньев линейный (шар в цилиндре) и точечный (шар на плоскости).
Одно из преимуществ низших КП по сравнению с высшими – возможность передачи больших сил, поскольку контактная поверхность звеньев такой пары может быть значительна. Применение высших пар позволяет уменьшить трение (каноничный пример – шарикоподшипник) и получать нужные разнообразные законы движения выходного звена механизма, меняя форму звеньев высшей пары.
Рис. 2.5.3
Виды кинематических пар

Классификация кинематических пар (продолжение)
Таблица 2.5.1
Классификация кинематических пар

Степень подвижности
Таблица 2.5.2
Классификация кинематических пар по числу степеней свободы и числу связей

Степень подвижности плоского механизма

Степень подвижности плоского механизма

Структурные группы Ассура

Классификация структурных групп
Конечные звенья групп Ассура, входящие в две кинематические пары, из которых одна имеет свободный элемент звена, называются поводками.
Структурные группы Ассура делятся (по Артоболевскому) на классы в зависимости от числа кинематических пар, образующих наиболее сложный замкнутый контур группы. Двухзвенным группам принудительно присвоен второй класс.
В пределах класса (по Ассуру) группы подразделяются по числу поводков на порядки (порядок группы равен числу ее поводков).
Класс и порядок механизма определяется классом и порядком наиболее сложной из входящих в него групп. Особенность структурных групп Ассура - их статическая определимость. Если группу Ассура свободными элементами звеньев присоединить к стойке, то образуется статически определимая ферма.
Наиболее широко применяются простые рычажные механизмы, состоящие из групп Ассура 2-го класса 2-го порядка. Число разновидностей таких групп для плоских механизмов с низшими парами невелико, их всего пять, приведены на рис. 2.6.1.
Рис. 2.6.1

Структурный анализ с помощью СГ
Рис. 2.6.2

Структурные формулы механизмов
После отсоединения от механизма всех структурных групп останется стойка и начальные звенья, число которых равно фактической степени подвижности механизма.
Таким образом, механизм состоит из W начальных механизмов и некоторого количества структурных групп, присоединенных в строго определенном порядке, который отражают в специальной записи, называемой формулой строения.
Например, механизм с одной степенью свободы, содержащий две структурные группы 2 класса 2 порядка, может иметь строение и формулу, приведённую на рис. 2.6.3.
В скобках указаны номера звеньев, составляющих структурную группу (или первичный механизм). Стрелки показывают, в каком порядке части механизма соединены друг с другом.
Класс механизма определяется классом наиболее сложной его структурной группы.
Рис. 2.6.3

Структурный синтез по Ассуру
Рис. 2.6.4

ДЗ №1

ДЗ №1
Рис. 3.1.1

ДЗ №1
Рис. 3.1.2

ДЗ №1
Рис. 3.1.3

ДЗ №1
Рис. 3.1.4

ДЗ №1
Рис. 3.1.5

ДЗ №1
Рис. 3.1.6

ДЗ №1
Рис. 3.1.7

ДЗ №2
Для данного механизма:
Определить число звеньев и кинематических пар.
Указать виды абсолютных движений, совершаемых отдельными звеньями механизма.
Для всех центров КП и всех характерных точек механизма описать траектории (прямые, окружности, кривые второго порядка, кривые сложнее второго порядка) и выбрать СК, в которой рационально изучать движение этих точек.
Составить структурную схему и произвести структурный анализ по Ассуру.
Составить описание работы механизма, определить входное и выходное звенья.
Рис. 3.2.1

ДЗ №2 (1)
Число звеньев имеющегося механизма – 4 (включая стойку), а именно:
Коромысло 1
Шатун 2
Ползун 3
Стойка 4
Число кинематических пар – 4.
КП (A) между звеном 1 и стойкой (одноподвижная вращательная).
КП (B) между звеньями 1 и 2 (одноподвижная вращательная).
КП (C) между шатуном 2 и ползуном 3 (одноподвижная вращательная).
КП (C) между стойкой 4 и ползуном 3 (одноподвижная поступательная).
Рис. 3.2.2

ДЗ №2 (2,3)
Траектории характерных точек:
A – неподвижная.
B – окружность.
C – прямая.
D – кривая 2 порядка.
E – кривая 2 порядка.
F – прямая.
Траектории удобнее всего рассматривать в ДСК, поскольку точки C и F двигаются по прямым, а движение по окружности точки B легко перевести в ДСК, используя тригонометрические функции от аргумента – угла поворота кривошипа вокруг оси Z. Траектории концов шатуна E и F представляют собой кривые второго порядка (полу-эллипсы, если быть конкретнее, это нетрудно доказать, разложив плоское движение на сумму поступательного и вращательного), поэтому тоже легко представимы в ДСК.
Звено 1 совершает возвратно-вращательное движение вокруг неподвижной оси Z.
Звено 2 совершает плоское движение в плоскости XY.
Звено 3 совершает возвратно-поступательные движения вдоль оси X.
Рис. 3.2.3

ДЗ №2 (4,5)
Представленный механизм может производить различную работу по превращению движения в зависимости от выбора входного и выходного звеньев. Если мы предполагаем, что входным звеном является звено с наименьшим номером 1 (что скорее всего является правдой, поскольку перед нами эллипсограф), оно является коромыслом и может поворачиваться только в пределах слева от оси Y (иначе нарушается условие существования механизма в плоскости), его возвратно-вращательное движение может быть переведено в непрерывное возвратно-поступательное движение ползуна 3 или в качательное движение концов шатуна 2, двигающихся по некоторым полу-эллипсам. Соответственно, при таких сценариях использования выходными звеньями также будут ползун 3 или шатун 2.

ДЗ №3
Требуется определить виды напряженно-деформированных состояний звеньев и рассмотреть все возможные их комбинации. Заметим, что звенья нагружены по-разному в зависимости от выбора входного звена. Так, им может являться коромысло 1 или верхняя часть звена 2 (BD). Для удобства нумерации обозначим данный участок второго звена цифрой 4. Он находится в состоянии изгиба при приложении к его концу силы. В свою очередь оставшаяся часть шатуна испытывает растяжение-сжатие (меняется за время поворота коромысла 1) либо комбинированное нагружение. Ползун 3 и коромысло 1 также сжимаются.
В случае, когда входным звеном является коромысло 1, оно будет находиться в состоянии изгиба. НДС ползуна и промежутка BC шатуна остаются прежними. Однако промежуток BD более не находится в напряженном состоянии (т. к. имеет свободный конец, к которому не приложена сила).
В табл. 3.3.1-2 приведены комбинации НДС звеньев. Синим выделены повторяющиеся комбинации. Чтобы не перегружать страницы, номера рисунков записаны в сокращенном виде, т.е. без (3.3).
Таблица 3.3.1
Таблица 3.3.2

1
2
3
4
5
6

7
8
9
10
11
12

13
14
15
16
17
18

19
20
21
22
23
24

25
26
27
28
29
30

ДЗ №3
Рис. 3.3.31
Эскиз с примерной формой звеньев для наиболее сложной конфигурации их НДС