Центр тяжести тела. Лекция 3

Цель: изучение способов определения центра тяжести твердого тела.
План
1. Понятие центра тяжести твердого тела.
2. Примеры вычисления координат центра тяжести тела.

1. Определение центра
тяжести тела

По закону всемирного тяготения на все частицы тела, находящегося вблизи земной поверхности, действуют силы притяжения их к Земле, т.е. силы их тяжести.
Центр тяжести тела есть такая, неизменно связанная с этим телом, точка,
через которую проходит линия
действия силы тяжести данного
тела при любом положении тела
в пространстве.

Центром тяжести (ЦТ) твердого тела называется геометрическая точка, жестко связанная с этим телом, и являющаяся центром параллельных сил тяжести, приложенных к отдельным элементарным частицам тела. С - обозначение ЦТ

Координаты ЦТ однородного объемного тела:

Координаты ЦТ плоского тела:

Если однородное тело симметричное (имеет плоскость, ось или центр симметрии), то его ЦТ находится в центре симметрии или на плоскости симметрии, или на оси симметрии.

Примеры ЦТ симметричных тел

Методы определения координат центра тяжести
Разбиение.
Тело разбивается на части, для которых положение ЦТ и площадь известны.
Тело разбивается на два прямоугольника

Пример.
С1, S1 - ЦТ и площадь
первой фигуры;
С2, S2 - ЦТ и площадь
второй фигуры.
xc =(x1∙S1 +x2∙S2)/(S1 +S2) - координата ЦТ плоской фигуры по оси x;
yc =(y1∙S1 +y2∙S2)/(S1 +S2) - координата ЦТ плоской фигуры по оси y.

2) Метод отрицательных площадей.
Применяется к телам, имеющим вырезы, если ЦТ тела без выреза и вырезанной части известны.

Пример.
С1, S1 - ЦТ и площадь
первой фигуры;
С2, S2 - ЦТ и площадь
второй фигуры.
xc =(x1∙S1 - x2∙S2)/(S1 -S2) - координата ЦТ плоской фигуры по оси x;
yc =(y1∙S1 - y2∙S2)/(S1 - S2) - координата ЦТ плоской фигуры по оси y.

Пример сложной фигуры, при определении ЦТ которой применяются оба метода

3) Практические методы определения ЦТ.
а) метод подвешивания

б) метод взвешивания
Метод взвешивания состоит в том, что сначала определяется вес тела, например, автомобиля. Затем на весах определяется реакция опоры заднего моста автомобиля. Составив уравнение равновесия относительно какой-либо точки, например оси передних колес, можно
вычислить расстояние
от этой оси до центра
тяжести автомобиля.

2. Примеры расчета координат центра тяжести

Пример 1. Найти координаты ЦТ плоской фигуры, изображенной на рисунке.
Выбираем оси координат так, чтобы нижний и левый край фигуры совпали с ними:

Делим заданную плоскую фигуру на прямоугольник (1), треугольник (2) и круг (3).
Вычисляем площади этих фигур:
S1 = 10·20 = 200; S2 = 0,5·5·10 = 25; S3 = π·9 =28,3.
Определяем координаты ЦТ фигур:
x1 = 10; y1 = 5
x2 = 5; y2 = 11,7
x3= 5; y3= 5
Координаты ЦТ всей плоской фигуры:

Пример 2. Определить координаты ЦТ составного сечения. Сечение состоит из листа и прокатных профилей (швеллера, двутавра).
Примечание. Часто конструкции сваривают из разных профилей. При этом, уменьшается расход металла и образуется конструкция высокой прочности.
Для стандартных прокатных профилей собственные геометрические характеристики известны. Они приводятся в соответствующих стандартах - ГОСТах.

Швеллер - разновидность металлопроката, который имеет П-образное поперечное сечение.
Область применения:
строительство;
машиностроение;
автомобилестроение;
вагоностроение и др.
Характеристики швеллера
h - высота,
b – ширина полки,
s – толщина стенки,
t - средняя толщина полки.

Двутавр – балочный профиль из высокопрочной стали с Н-образным поперечным сечением.
Двутавровые конструкции хорошо переносят сопротивление на изгиб.
Балки применяются в строительстве зданий различного назначения, подвесных конструкций, в автомобильной промышленности.
Их размеры регламентируется действующими государственными
стандартами.

Характеристики двутавра
h - высота,
b – ширина полки,
s – толщина стенки,
t - средняя толщина полки.

Задача. Сечение состоит из листа, швеллера, двутавра. Обозначаем фигуры номерами и выписываем из таблиц стандартов необходимые данные:
1. швеллер №10 (ГОСТ 8240-89); высота h=100 мм; ширина полки b=46 мм; площадь сечения А1=10,9см2;
2. двутавр №16 (ГОСТ 8239-89); высота h2 =160 мм; ширина полки b2 =81 мм; площадь сечения А2=20,2см2 
3.лист 5×100; толщина а=5 мм;
ширина b3= 100 мм; площадь
сечения А3=0,5∙10=5 см2.

Координаты центров тяжести каждой фигуры можно определить по чертежу.
Составное сечение симметрично, поэтому ЦТ находится на оси симметрии и координата  хС =0.
Швеллер 1:  у1 = а+h2+ z0 =0,5+16+1,44=17,54 см
Двутавр 2:  у2=а+ h2/2=0,5+16/2=8,5 см
Лист 3:  у3=а/2=0,25 см

Определение центра тяжести составного сечения:
Ответ: хС =0 уС = 10 см