Алгоритм Райвеста-Шамира-Адлемана

Область применения
Шифрование;
Цифровое подписывание.

RSA и DH
Алгоритм RSA во многом схож с алгоритмом Диффи-Хеллмана.
Принци­пиальное различие:
Алгоритм DH основан на использовании односторонней функции;
Алгоритм RSA основан на использовании односторонней функции с лазейкой.

Лазейка для RSA
Вычисления производятся по модулю составного числа n=p*q, где p и q- простые числа;
Зная публично известные n и e, мы можем найти me(mod n) по заданному m, но не наоборот. При этом, зная, как n раскладывается на множители; выполнить обратную операцию очень легко. Разложение числа n на множи­тели и есть "лазейка". (Если мы знаем эту информацию, то можем легко выполнить обратное действие, а если не знаем, то не можем).

Китайская теорема об остатках (Сунь Цзе 1 век д.н.э.)
Числа по модулю n — это 0,1,..., n — 1. Они не образуют конечное поле, как в том случае, если бы n было простым числом. Математики обозначают это множество чисел как Zn и называют его кольцом.
Для каждого х из Zn можно легко вычислить пару (хmodp, хmodq). Китайская теорема об остатках утверждает, что можно выполнить и обратную операцию: зная пару (xmodp, xmodq), можно восстановить исходное значение х.

Доказательство. Единственность решения
Для упрощения записи введем обозначение (а, b):= (х mod p, x mod q). Вначале покажем, что восстановление исходного значения х вообще возможно, а затем приведем алгоритм его вычисления.
Чтобы вычислить х по заданным (а, b), следует убедиться, что в Zn не существует второго такого числа х', для которого х' mod р = а и х' mod q = b. В противном случае и x и х' привели бы к появлению одной и той же пары (а, b), и ни один алгоритм не смог бы распознать, какое из этих значений является исходным.
Пусть d:= х — х' — это разность чисел, которым соответствует одна и же пара (а, b).
Имеем (d mod р) = (х — х') mod р = (х mod р) — (х'mod p)= =а—а = О, а следовательно, d кратно р.
Аналогичным образом получаем, что d кратно q.
Отсюда следует, что d является кратным НОК(р, q), так как НОК это, наименьшее общее кратное. Поскольку p и q — это неодинаковые простые числа, HОK(p, q) = pq =n, а значит, х — х' кратно n.
Но и x и x' лежат в диапазоне 0,1,... ,n — 1, поэтому разность х - х', кратная n, находится в диапазоне: —n + 1,..., n — 1. Единственным возможным значением такой разности, кратным n, является х—х' = 0, или х = х'. Это доказывает, что для любой заданной пары (а, b) существует не более одного х, удовлетворяющего условиям теоремы. Остается лишь найти значение х.

Доказательство. Существование решения
Самым удобным способом вычисления х является формула Гарнера:
х = (((а -b)(q-1 mod p)) mod p) * q + b (*).
Здесь множитель (q-1 mod p) — это константа, которая зависит только от p и q. Мы можем выполнять деление по модулю р, а значит, и вычислять (1/qmodp), что является всего лишь другой формой записи выражения (q-1 modp).
Вначале покажем, что х находится в диапазоне 0,... ,n — 1.
Очевидно, x ≥ 0 .
Обозначим за t выражение (((a-b)(q-1 mod p)) mod p). Значение t должно попадать в диапазон 0,…,р — 1, так как является результатом вычисления по модулю р.
Если t ≤ p — 1, тогда tq ≤ (p — l)q и х = tq + b(из (*)) ≤ (p — l)q + (q — 1) = pq — 1 = n— 1.
Очевидно, значение х действительно находится в диапазоне 0,..., n — 1.

Доказательство. Существование решения
Теперь покажем, что найденное значение х дает правильный результат и
gо модулю р, и по модулю q.
x mod q= ((((a-b)(q-1 mod p)) mod p)* q + b)mod q=(К*q + b)mod q =
= b mod q=b.
Выражение (((a — b)(q-1 mod p)) mod p), которое умножается на q — это некотopoe целое число К, но при выполнении операций по модулю q любое кратное q можно отбросить.
х mod р = ((((а - b)(q-1 mod p)) mod p)* q + b) mod p = (((a – b) q-1)* q + b) mod p = ((a - b)(q-1 *q) + b) mod p =((a — b) + b) mod p = amod p=a.
Избавляемся от нескольких лишних операторов по mod p, изменяем порядок умножения и замечаем, что (q-1 *q) = l(mod p).
Таким образом формула Гарнера дает результат х, который лежит в нужном диапазоне и для которого (а, b)=(хmodp ,хmodq). Поскольку мы уже знаем, что такое решение может быть только одно, результат формулы Гарнера полностью решает китайскую теорему остатках.

RSA. Шифрование.

Генерация ключей
Выбираются два разных случайных простых числа р и q (порядка 1024 бит каждое) и вычисляется n=pq;
Вычисляется число t = НОК(р-l,q-1);
Выбирается целое число e взаимно простое с t и вычисляется число d такое, что ed=1(mod t);
Пара (n, e) образует открытый ключ.
Значения (р, q, t, d) образуют закрытый ключ и сохраняются в секрете человеком, который сгенерировал ключ RSA.

Шифрование. Расшифрование.
Чтобы зашифровать сообщение m, отправитель генерирует шифрованный текст с:=me(mod n).
Чтобы расшифровать шифрованный текст с, получатель вычисляет cd(mod n).
Это эквивалентно значению
(me)d(modn)=med(modn)=mkt+1(modn)=(mt)k*m(mod)=
=m(mod n),
где k - некое целое число, которое всегда существует.
Таким образом, получатель может расшифровать шифрованный текст mе, чтобы получить открытый текст m.

Пример. Генерация ключей.
Выберем р=3 и q=11.
Определим n=3*11=33.
Найдем (р-1)*(q-1)=20. Следовательно в качестве e выберем любое число, которое является взаимно простым с числом 20, например e=3.
Выберем число d. В качестве такого числа может быть взято любое число, для которого выполняется равенство
(d*3)mod 20=1, например d=7.
Пара (33, 3) образует открытый ключ.
Значения (3, 11, 20, 7) образуют закрытый ключ

Пример. Шифрование.
Т.к. в качестве n было взято число 33, можем шифровать буквы русского алфавита производя вычисления по модулю 33.
Зашифруем слово «бал», переведем буквы в соответствующие числовые значения (2,1,13)
C1=(2^3)mod33=8mod33=8;
C2=(1^3)mod33=1mod33=1;
C3=(13^3)mod33=2197mod33=19.
Зашифрованное слово (8,1,12) или «жас»

Пример. Расшифрование.
Зашифрованное слово (8,1,19) или «жас»
M1=(8^7)mod33=2097152mod33=2,
M2=(1^7)mod33=1mod33=1,
M3=(19^7)mod33=893871739mod33=13.
Расшифрованное слово (2,1,13) или «бал»

RSA. Электронная подпись.

RSA. Создание электронной подписи.
Для сообщения m создается цифровая подпись s на основании секретного ключа пользователя А
s=SA(m)=md(modn);
Пара (m,s) передается пользователю В.

RSA. Проверка электронной подписи.
Применить открытый ключ пользователя А к паре (m,s)
m‘=PA(s)=se(modn);
Проверить подлинность подписи сравнив m и m‘.
Если m=m‘ – верификация проходит успешно.

Проблемы использования RSA
Четкая математическая структура
(если пользователь А подпишет цифровой подписью два со­общения – m1 и m2, пользователь Б сможет вычислить, какой должна быть подпись пользователя А для сообщения m3:= m1m2(modn);
Шифрование сообщения малого (
(если при возведении в степень e символ сообщения принимает значение
Необходимость применять в качестве ключей шифрования и ЭП не пересекающиеся множества;
Атаки основанные на методах решения полиномиальных уравнений по модулю n.