Числа в компьютере

Лекция 9. Числа в компьютере
Машинные коды чисел
Прямой код [x]пр
[x]пр = x, при x ≥ 0 или [x]пр = 1 – x, при x < 0,
то есть [x]пр. = 0,x1x2… xn или [x]пр. = 1,x1x2…xn.
Прямой код двоичного числа совпадает с записью самого числа, а в знаковом разряде проставляются 0 или 1 для положительных и отрицательных чисел соответственно.

Лекция 9. Числа в компьютере
Машинные коды чисел
Обратный код [x]обр
[x]обр. = x, при x ≥ 0 или [x]обр. = 10 + x – 10n, при x < 0,
где n – количество разрядов.
Обратный код отрицательного числа образуется путем записи в знаковый разряд 1, а цифровые разряды инвертируются.

Лекция 9. Числа в компьютере
Машинные коды чисел
Дополнительный код [x]доп.
[x]доп. = x, при x ≥ 0 или [x]доп. = 10 + x, при x < 0.
Дополнительный код отрицательного числа образуется путем записи в знаковый разряд 1, цифровые разряды инвертируются, а к младшему разряду прибавляется 1.

Лекция 9. Числа в компьютере
Машинные коды чисел
Рассмотренные коды чисел используются для замены вычитания сложением
При сложении двух правильных дробей результат может оказаться больше единицы, что приведет к переполнению уже упомянутой разрядной сетки - теряются старшие разряды результата
Модифицированные обратный [x]Мобр. и дополнительный [x]Мдоп. коды.
Они образуются по таким же правилам, лишь под знак числа отводятся два разряда: сочетание цифр 00 в знаковых разрядах свидетельствует о том, что число положительное, цифр 11 – оно отрицательное.

Лекция 9. Числа в компьютере
Размещение чисел в разрядной сетке
Совокупность двоичных разрядов, предназначенных для хранения и обработки чисел, образует разрядную сетку компьютера.
Естественная – с фиксированной запятой (точкой)
Формы представления
Нормальная или полулогарифмическая – с плавающей запятой (точкой)

Лекция 9. Числа в компьютере
Размещение чисел в разрядной сетке
Представления двоичных чисел с фиксированной запятой
Запятая фиксируется перед старшим разрядом (при представлении правильных дробей) или после младшего (при представлении целых чисел), отделяя целую часть числа от дробной. Под знак числа отводится нулевой бит (0 – «+», 1 – «–»),
Десятичное число 3105
в 16-тиразрядной сетке будет размещено следующим образом
310510 = С2116 = 1100001000012
0 3 7 11 15
+ C 2 1

Лекция 9. Числа в компьютере
Размещение чисел в разрядной сетке
Представления чисел с плавающей запятой
Изображаются в виде
N = m∙qp,
где m – мантисса числа (|m| < 1);
q – основание системы счисления;
p – порядок числа, который указывает положение запятой в числе, при разных порядках положение запятой различно
Отсюда и название – с плавающей запятой.
12310 = 0,123۰103 = 0,0123۰104 = …
Нормализованные и ненормализованные числа, первые – это такие, у которых абсолютная величина мантиссы удовлетворяет условию
1/q ≤ |m| < 1.
0,123 является нормализованным, а 0,0123 – нет.
Для двоичной системы имеем 1/210 = 0,12,

Лекция 9. Числа в компьютере
Размещение чисел в разрядной сетке
Представления чисел с плавающей запятой
Число
555,44110 = 22B,70E516 = 0,22B70E5۰103
в 32-хразрядной сетке оно будет размещено
0 7 11 15 19 23 27 31
+ 3 2 2 B 7 0 E

Лекция 9. Числа в компьютере
Выполнение арифметических операций
Операции над числами с фиксированной запятой
При выполнении сложения машинные коды чисел просто складываются, при этом коды отрицательных чисел преобразуются в обратный или дополнительный коды
x = 0,1101, y = – 0,0110, x + y = ?
[x]Мдоп. = 00,1101 или [x]Мобр. = 00,1101
+ [y]Мдоп. = 11,1010 + [y]Мобр. = 11,1001
100,0111 100,0110
+ 1
00,0111
Итак, x + y = 00,0111. И действительно: 13 + (– 6) = 7.

Лекция 9. Числа в компьютере
Выполнение арифметических операций
Операции над числами с фиксированной запятой
Умножение сводится к последовательности операций суммирования и сдвига (влево или вправо)
x = 0,110, y = 1,101, x۰y = ?
Определяем знак произведения: 0 + 1 = 1 – произведение отрицательно
0,110
× 0,101
110
+ 000
110__
11110
Итак, х۰у = 1,11110. И действительно: 6۰(– 5) = – 30.

Лекция 9. Числа в компьютере
Выполнение арифметических операций
Операции над числами с фиксированной запятой
Деление состоит в последовательности операций вычитания и сдвигов, причем делитель вычитается из делимого или очередного остатка. При делении без восстановления остатка полученный в результате вычитания остаток сдвигается на разряд влево. Если он положительный, из него вычитается делитель и в разряд частного записывается 1, если отрицательный – к нему прибавляется делитель и в разряд частного записывается 0.

Лекция 9. Числа в компьютере
Выполнение арифметических операций
Операции над числами с плавающей запятой
Сложение и вычитание выполняются как над мантиссами, так и над порядками. Сначала порядки выравниваются. Затем производится сложение мантисс и при необходимости нормализация результата.
x = 0,101001۰10110, y = – 0,101110۰10101, x + y =?
у = – 0,010111۰10110
[х]Мдоп. = 00,101001
+ [y]Мдоп.= 11,101001
00,010010 (p = 110).
Нормализуем результат с уменьшением порядка на 1:
x + y = 0,10010۰10101.
И действительно: 41 + (– 23) = 18.