Функциональные зависимости. Лекция №6

Функциональные зависимости

Для формального определения функциональных зависимостей обозначим:
A, B, C – одиночные атрибуты;
X, Y, Z – множества атрибутов;
a, b, c … x, y, z –значения атрибутов;
U, R, S – отношения;
XY – объединение множеств атрибутов X и Y;
U – универсальное отношение, в схеме которого каждый атрибут имеет уникальное имя;
Множество атрибутов любого другого отношения есть подмножество атрибутов U;

Функциональная зависимость
Атрибут Y функционально зависит от атрибута X отношения R, если в каждый момент времени каждому значению х соответствует одно и то же значение y.

Правила вывода ФЗ:
Ф1: свойство рефлексивности.
Если , то функциональная зависимость следует из F.
Правило Ф1 является надежным, так как нельзя иметь в отношении R два кортежа, у которых одновременно совпадают значения по всем атрибутам множества X и в то же время не совпадают по некоторому подмножеству атрибутов этого же множества X.

Тривиальные зависимости характеризуются тем, что атрибуты, входящие в правую часть выражения , полностью содержаться среди атрибутов левой части.
Действия:
1. можно вводить любые атрибуты из множества U.
2. Можно добавлять атрибуты из U в правую часть, но следить за тем чтобы этот атрибут находился в левой части.
3. Можно удалять атрибуты из правой части.
4. Можно удалять атрибуты из левой части, но следить за тем чтобы он отсутствовал и в правой.

Правила вывода ФЗ:
Ф2: свойство пополнения.
Если , и задана зависимость которая принадлежит F, либо получена из F, с использованием правил вывода, то
Для правила Ф2 не существенно, перекрываются множества X, Y, или Z или нет. Используя это правило, можно любые атрибуты из множества U подставлять (но одновременно) и в правую и в левую часть выражения.

Правила вывода ФЗ:
Ф3: свойство транзитивности.
Если , и задана зависимость которая либо принадлежит F, либо получена из F, с использованием правил вывода, то .

Правила вывода ФЗ:
Ф4: свойство расширения.
Если , и задана зависимость , то тогда для любого имеет место функциональная зависимость .

Правила вывода ФЗ:
Ф5: свойство продолжения.
Если , и ФЗ , то для любых имеет место функциональная зависимость .

Правила вывода ФЗ:
Ф6: свойство аддитивности или объединения.
Если и заданы ФЗ и , то имеет место функциональная зависимость .

Правила вывода ФЗ:
Ф7: свойство декомпозиции.
Если и при этом и задана ФЗ , то будет иметь место ФЗ .

Многозначные зависимости
Многозначная зависимость Y от X:
МЗ существует, если при заданных значениях атрибутов из X существует множество, состоящее из нуля или более взаимосвязанных значений атрибутов из Y, при чем множество значений Y не связано со значениями атрибутов в отношении «R–X–Y», где R – все множество атрибутов отношения.

Для проверки множественной зависимости необходимо:
Если в R имеет место зависимость , то для двух произвольных кортежей t и s, таких, что t[X]=s[Y], отношение обязательно содержит кортежи u и v, такие, что выполняется условия:
1.
2.
3.

Ели поменять местами значения атрибутов Y в кортежах t и s, то можно получить два кортежа u и v, которые так же должны принадлежать рассматриваемому отношению.
Формальная проверка должна выполняться на множестве всех возможных экземпляров кортежей отношения.

Аксиомы МЗ
Дополнение для МЗ (М1): Если
Если , то имеет место многозначная зависимость .
2. Пополнение для МЗ (М2):
Если , то имеет место МЗ
3. Транзитивность для МЗ (М3):
Если , то имеет место многозначная зависимость .

Правила вывода МЗ
Правило объединения для МЗ:
Если , то имеет место многозначная зависимость
2. Смешанное правило транзитивности для МЗ:
Если , то имеет место зависимость .
3. Правило декомпозиции для МЗ:
Если , то имеет место зависимости ,