Лекция 6 - Реляционная модель данных_Часть 2_Операции над отношениями

Курс лекций «Базы данных»
Операции над отношениями
Существует два эквивалентных математических аппарата:
реляционная алгебра и реляционное исчисление.
Реляционная алгебра задает набор операторов для выполнения операций над реляционными отношениями.
Операции реляционной алгебры Кодда можно разделить на две группы:
базовые теоретико–множественные
и
специальные реляционные.

Курс лекций «Базы данных»
Первая группа операций (базовые теоретико–множественные ) включает в себя операторы, представляющие собой традиционные операции над множествами, а именно:
объединение отношений;
пересечение отношений;
разность (вычитание) отношений;
декартово произведение отношений.

Курс лекций «Базы данных»
Вторая группа (специальные реляционные) представляет собой специальные реляционные операторы:
выборка (селекция);
проекция;
соединение отношений;
деление отношений.

Курс лекций «Базы данных»
Операции реляционной алгебры могут выполняться над одним (унарная операция) или двумя отношениями (бинарная операция).
При выполнении бинарной операции участвующие в операциях отношения должны быть совместимы по структуре.
Отношения называются совместимыми, если число и состав их атрибутов совпадают, то есть схемы отношений одинаковые.

Курс лекций «Базы данных»
Теоретико–множественные операции над отношениями
Объединение (UNION) двух совместимых отношений R1 и R2 одинаковой размерности – это отношение R, содержащее все элементы исходных отношений. Повторяющиеся кортежи не включаются.

Курс лекций «Базы данных»
Пример 1 . Объединение отношений

Курс лекций «Базы данных»
2) Пересечение (INTERSECT) двух совместимых по типу отношений R1 и R2 одинаковой размерности – это отношение R с телом, включающим в себя кортежи, одновременно принадлежащие обоим отношениям.

Курс лекций «Базы данных»
Пример 2. Пересечение отношений
Пусть входные отношения R1 и R2 имеют тот же вид, что в Примере1, тогда на выходе получим:

Курс лекций «Базы данных»
3) Вычитание (MINUS) двух совместимых по типу отношений R1 и R2 одинаковой размерности – это отношение R с телом, состоящим из множества всех кортежей, принадлежащих отношению R1 и не принадлежащих отношению R2.

Курс лекций «Базы данных»
Пример 3. Вычитание отношений
Пусть входные отношения R1 и R2 опять имеют тот же вид, что в Примере1, тогда на выходе получим:

Курс лекций «Базы данных»
4) Декартово произведение отношений (TIMES) – это бинарный оператор, предназначенный для комбинирования двух отношений.
Пусть R1 отношение степени k1 , а R2 отношение степени – k2.
R = R1 × R2 будет представлять собой множество кортежей таких, что первые k1 элементов кортежа отношения R составляют кортежи отношения R1, а последующие k2 элемента кортежа из R составляются кортежами из R2. Сочетание кортежей из R1 и R2 при образовании кортежа R осуществляется по правилам декартова произведения.
Здесь R1 и R2 могут иметь разные схемы.
Степень отношения R равна сумме степеней отношений операндов R1 и R2.
Мощность отношения R равна произведению мощностей R1 и R2.

Курс лекций «Базы данных»
Пример 4. Произведение отношений

Курс лекций «Базы данных»
1) Выборка (R WHERE f) отношения R по формуле f представляет собой новое отношение, заголовок которого совпадает с заголовком отношения R, а тело содержит множество кортежей, являющихся подмножеством множества кортежей отношения R, для которых формула f принимает значение истина.
Здесь f – логическая формула (предикат), принимающая значение истина или ложь, образованная операндами, представляющими собой имена атрибутов отношений R или литералы, а также скалярными операторами сравнения
(=, <>,>, <, >=, <=) и логическими операторами И, ИЛИ, НЕ.
Выбор – унарная операция.
Специальные реляционные операторы

Курс лекций «Базы данных»
Пример 5. Выборки
Пусть R – исходное отношение.
Тогда отношение, полученное с помощью оператора
R WHERE Курс = 1, будет иметь вид:

Курс лекций «Базы данных»
Пример 5. Выборки
Пусть R – исходное отношение.
А отношение, полученное с помощью оператора
R WHERE Факультет = “Информатики ” AND Курс = “3”, будет иметь вид:

Курс лекций «Базы данных»
2) Проекция отношения R по атрибутам X, Y, …, Z обозначается R [X, Y, …, Z], где каждый из указанных атрибутов принадлежит отношению R, – это отношение с заголовком
{ X, Y, …, Z } и телом, содержащим кортежи отношения R, за исключением повторяющихся кортежей. Повторение одинаковых атрибутов в списке X, Y, …, Z запрещается.
С помощью оператора проекции получается «вертикальное» подмножество атрибутов отношения R с последующим исключением дублирующих кортежей (если они возникают).

Курс лекций «Базы данных»
Пример 6. Проекция
Пусть исходным отношением будет отношение R из Примера 5.
Тогда по атрибутам Фамилия и Факультет получим следующую проекцию:

Курс лекций «Базы данных»
3) Соединение – операция реляционной алгебры, связывающая таблицы. Операция соединения используется для связывания данных между таблицами. Это, возможно, наиболее важная функция любого языка баз данных!
Θ–соединение отношений. Пусть отношения R1 и R2 не имеют атрибутов с одинаковыми именами, а символ Θ (греческая буква тэта) обозначает один из операторов сравнения: =, <>, >, <, <=, >=.

Курс лекций «Базы данных»
Тогда Θ–соединением отношения R1 по атрибуту Х с отношением R2 по атрибуту Y является отношение, совпадающее с декартовым произведением отношений R1 и R2, для кортежей которого выражение условия X Θ Y принимает значение истина.
Другими словами, ТЭТА–соединение это
(R1 TIMES R2) WHERE XΘY.
Очевидно, что сравниваемые атрибуты X и Y должны быть определены на общем домене для того, чтобы операция сравнения имела смысл.

Курс лекций «Базы данных»
Пример 7. Θ–соединение
Ответ на вопрос “какие пилоты могут управлять какими самолетами?” дает
Θ–соединение отношений
R1 и R2:
(R1 TIMES R2) WHERE X≥ Y.
Рабочий процесс организован таким образом, что пилоты имеют право управлять только теми самолетами, у которых статус не выше статуса пилота.

Курс лекций «Базы данных»
Частным случаем соединения являются эквисоединение и естественное соединение.
Операция эквисоединения характеризуется тем, что оператор сравнения в этом соединении это– «=».
Операция естественного соединения (операция R1 JOIN R2) применяется к двум отношениям, имеющим общий атрибут (простой или составной). Этот атрибут в отношениях имеет одно и то же имя (совокупность имен) и определен в одном и том же домене (доменах).
Результатом операции естественного соединения является отношение R, которое представляет собой проекцию эквисоединения отношений R1 и R2 по общему атрибуту на объединенную совокупность атрибутов обоих отношений.

Курс лекций «Базы данных»
Пример 8. Естественное соединение
Пусть необходимо найти естественное соединение отношений
R1 (ПИЛОТЫ) и R2 (САМОЛЕТЫ) из Примера 7,
соединение нужно произвести по общему атрибуту, характеризующему статус (в отношении R1 – это Статус_П, а в R2 – Статус_С).
Поскольку условие операции требует одинаковости имен атрибутов, по которым выполняется соединение, то применяется операция RENAME переименования атрибутов.
Операция переименования позволяет изменить имя атрибута отношения и имеет вид:
RENAME<исходное отношение><старое имя атрибута>
AS <новое имя атрибута>.
В результате естественного соединения отношений R1 и R2 получим:
(R1 RENAME Статус_П AS Статус) JOIN
(R2 RENAME Статус_С AS Статус)

Курс лекций «Базы данных»
Пример 8. Естественное соединение
(R1 RENAME Статус_П AS Статус) JOIN
(R2 RENAME Статус_С AS Статус)

Курс лекций «Базы данных»
4) Деление отношения.
Пусть R1 и R2 – два отношения.
Тогда отношение R := R1/R2
может быть получено следующим образом:
1. Результирующее отношение R будет содержать только те атрибуты делимого R1, которых нет в делителе R2.
2. В результирующее отношение R включаются только те кортежи из R1, декартово произведение которых с делителем R2 содержится в делимом (является подмножеством делимого).