Модель Бьянкони-Барабаши

Модель Б-А – минимальная модель.
Простейшие предположения:
линейный рост
линейное предпочтительное соединение
Не учитывает вариации распределения степеней
вариации показателя распределения
коэффициент кластеризации, не зависящий от размера
Гипотеза:
Модель Б-А может быть адаптирована к описанию различных свойств реальных сетей.
Известные механизмы в реальных сетях: добавление новых связей без новых узлов, перестройка связей, удаление связей, удаление узлов.
МОДЕЛЬ СЕТЕЙ С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ТОПОЛОГИЕЙ

Модель Бьянкони-Барабаши

Модель Б-А: k(t)~t ½ (преимущество 1-го хода)
Модель Б-Б: скр. параметр (η ) k(η,t)~tβ(η)
β(η) =η/C
Могут более поздние узлы иметь большую степень?
время
Степень (k)
Bianconi & Barabási, Physical Review Letters 2001; Europhys. Lett. 2001.

Модель Бьянкони-Барабаши
Рост
На каждом шаге добавляется новый узел j с m связями и параметром ηj где ηj – случайное число, выбранное из распределения ρ(η). С течением времени у каждого узла значение ηj остается неизменным.
Предпочтительное соединение
Вероятность того, что новый узел соединиться с узлом i, пропорциональна произведению степени kj узла i и параметра ηj.

Модель Бьянкони-Барабаши
Модель Б-А: k(t)~t ½
Модель Б-Б: k(η,t)~tβ(η)
β(η) =η/C

Равномерное распределение скрытого параметра
Равномерное распределение:
в интервале [0,1].
C* = 1.255

Конденсация Бозе-Эйнштейна

G. Bianconi and A.-L. Barabási, Physical Review Letters 2001; cond-mat/0011029
Узел с η ? Энергетический уровень ε
Новый узел с η ? новый энерг. уровень ε
Связь к узлу с η ? частица на уровне ε
Сеть ? квантовый газ

Бозе-эйнштейновская конденсация

Bianconi & Barabási, Physical Review Letters 2001; Europhys. Lett. 2001.
Бозе-эйнштейновская конденсация

Поправки к модели Б-А

Ограничения модели Б-А
Модель дает значение показателя γ=3, тогда как в реальных сетях он варьируется от 2 до 5.
Модель дает степенной закон распределения степеней, тогда как в реальных системах наблюдаются систематические отклонения от степенной функции, такие как насыщение при малых значениях или отсечка при больших.
Модель не учитывает различные элементарные процессы, которые присутствуют во многих реальных сетях, такие как появление связей между существующими узлами, исчезновение узлов или связей.

Начальная привлекательность
Увеличивается показатель
Насыщение при малых степенях

Внутренние связи
Двойное предпочтительное соединение (A=A’=0).
Случайное соединение (B=B’=0).

Исчезновение узлов
Модель Барабаши-Альберт.
На каждом шаге:
добавляется новый узел с m связями с вероятностью r узел удаляется.
r<1: масштабно-инв. фаза
r=1: экспоненциальная фаза
r>1: исчезающая сеть

Исчезновение узлов + другие процессы
Модель с нач. привлекательностью:
На каждом шаге:
добавляется новый узел с m связями
с вероятностью r узел удаляется.
r
r=r*(A): крит. исчезновение
r>r*(A): экспоненц. сети

Ускоренный рост
Мы полагали, что L =
N, где
не зависит от времени и от N.
Средняя степень сети Интернет выросла с 3.42 (ноябрь 1997) до 3.96 (декабрь 1998);
Средняя степень сети WWW выросла с 7.22 до 7.86 за пять месяцев;
В метаболических сетях средняя степень растет почти линейно с числом метаболитов.
Число связей с новым узлом
Показатель распределения

Старение
ν<0: новые узлы соед. со старыми
? усиливается роль предпочтит. соединения
ν→ −∞ каждый нов. узел соединяется только с самым старым ? суперхаб
ν>0: новые узлы соед. с молодыми
ν→ +∞: каждый узел соед. с предшественником

Summary
Section 5

Section 6 summary : Topological Diversity

Section 6 summary : Topological Diversity

Section 6 summary : Topological Diversity

Section 6 summary