Системы счисления. Лекция №3

Системой счисления называют определенные правила записи чисел и связанные с ними способы выполнения вычислений.

Примеры систем счисления
Позиционные: десятичная, двоичная, троичная….
Непозиционные: римская…

Компьютер работает с числами в двоичной системе счисления.
Эта идея принадлежит Джону фон Нейману, сформулировавшему в 1946 году принципы устройства и работы ЭВМ.

Десятичная система счисления
Система счисления называется десятичной потому ,что для записи любого числа в ней используются десять цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Число цифр определяет основание системы счисления.
В десятичной системе счисления основание равно десяти.

Двоичная система счисления
Система счисления называется двоичной, потому что для записи любого числа в ней используются две цифры:
0, 1.
В двоичной системе счисления основание равно двум.

Развернутая форма записи числа
В позиционных системах счисления значение цифры в записи числа зависит не только от самой цифры, но и от места расположения этой цифры в числе.
Например в числе 333 первая справа цифра обозначает три единицы, следующая — три десятка, следующая — три сотни. Этот факт можно выразить равенством:
33310 = 3 • 102 + 3 • 101 + 3 • 10° = 300 + 30 + 3.
Выражение, стоящее справа от знака «равно», называется развернутой формой записи многозначного числа.

Задание.
Запишите число в развернутой форме:
Основание системы 10
3210
8257
=8•103 + 2•102 + 5•101 + 7•100
= 8000 + 200 + 50 + 7

Перевод двоичной системы счисления чисел в десятичную
Задание: перевести число 1101012, записанное в двоичной системе счисления в десятичную.
Для выполнения задания необходимо записать это число в развернутой форме:
1101012 = 1•25 + 1•24 + 0•23 + 1•22 + 0•21 + 1•20 = 5310

Соответствие записи чисел в десятичной и двоичной системе счисления:

Задание
Переведите числа из двоичной системы счисления в десятичную:
1000001=
10000001=
100000001=
1000000001=

Перевод десятичных чисел в двоичную систему
Перевод осуществляется при помощи деления десятичного числа на 2 до тех пор, пока в остатке не останется либо 1, либо 0.
Результат перевода – остатки от деления, записанные в обратном порядке
5610 = 1110002

Задание
Переведите в двоичную систему счисления следующие десятичные числа:
2
7
17 68
315
765
2047

Правила перевода в другие позиционные системы счисления
Перевод чисел из других систем счисления в десятичную и наоборот из десятичной в другие системы счисления осуществляется аналогичным образом.
Изменяется только основание необходимой системы счисления

Алгоритм перевода дробных чисел из 10 системы в двоичную
Перевод целой части:
Целая и дробная часть числа переводится отдельно.
В итоговой записи числа в новой системе счисления целая часть отделяется от дробной запятой.
Алгоритм перевода целой части был приведен выше.

Алгоритм перевода дробных чисел из 10 системы в двоичную
Перевод дробной части:
Необходимо последовательно умножать дробную часть числа на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть не станет равна нулю;
Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;
Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Задание:
Переведите число 315,1875 из десятичной в двоичную систему счисления
Переведите 31510 =
Переведите 0,187510=
Запишите результат
100111011,0011

Задание:
Переведите число 315,1875 из десятеричной в восьмеричную систему счисления
473,148

Задание:
Переведите числа из десятичной системы в двоичную и восьмеричную
40,5
34,25
124,44
78,333
225,52

Перевод дробных чисел из двоичной системы в десятичную

Задание:
Переведите из двоичной системы в десятичную
1101,11
11,00111
11011,11
1100110,111

Для перевода чисел из одной системы в другую необходимо знать таблицы:
Двоично-восьмеричная

Для перевода чисел из одной системы в другую необходимо знать таблицы:
Двоично-шестнадцатеричная

Алгоритм перевода целых чисел из
двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную
Двоичное число разбить группы по n цифр в каждой, начиная справа (восьмеричная система – 3 цифры, шестнадцатеричная система – 4 цифры).
Если в последней группе окажется меньше n разрядов, то ее необходимо дополнить нулями.
Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в необходимой системе счисления.

Задание
11 0111 1010 1110 1111
1111
1110
1010
0111
0011
3
7
A
E
F
37AEF
Перевести двоичное число в шестнадцатеричную систему

Алгоритм перевода целых чисел из
восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную
Связь между двоичной и восьмеричной системой устанавливается аналогично.
В этом случае используется двоично-восьмеричная таблица.
Каждой восьмеричной цифре соответствует тройка двоичных цифр.

Задание
15FC
0001
0101
1111
1100
1010111111100
Перевести число из шестнадцатеричной системы в двоичную

Задание
Перевести двоичные числа в восьмеричную систему
110000110101
1010101

Задание:
Перевести двоичные числа в шестнадцатеричную систему
11011010001
11111111100001

Задание
Перевести восьмеричные числа в двоичную систему
256
657

Задание
Перевести шестнадцатеричные числа в двоичную систему
1AC7
FACC

Алгоритм перевода дробных чисел:
Целая и дробная части разбиваются на группы по n цифр в каждой.
Если в целой и дробной части окажется меньше цифр для деления на группы, необходимо дополнить справа и слева эти части нулями.
Рассмотреть каждую часть как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в необходимой системе счисления.
Записать через запятую обе части.

Задание
1011101,10111
1000
1011
1101
0101
5
B
8
D
5D,B8
Перевести число в шестнадцатеричную систему счисления

Задание
Перевести числа из двоичной в шестнадцатеричную и восьмеричную системы счисления
1100010,011101
1111000000,101
101010,111001

Перевод из восьмеричной системы в шестнадцатеричную и наоборот
Каждую восьмеричную (шестнадцатеричную) цифру надо перевести в двоичный вид и представить тремя (четырьмя) разрядами двоичного числа в соответствии с таблицей
Записать код числа в соответствии с таблицей

Арифметика двоичных чисел
Возможные варианты сложения и умножения двоичных чисел:
0+0=0 0x0=0
0+1=1 0x1=0
1+0=1 1x0=0
1 + 1 = 10 1x1 = 1

Решение задач

Задание
1. Перевести целые числа из десятичной системы в троичную
523
65
7000
2. Перевести целые числа из десятичной системы в восьмеричную
856
664
5012

Задание
3. Перевести десятичные дроби в двоичную систему счисления. В двоичной записи числа сохранить 5 знаков
225, 52
78,333
90,99

Задание
4. Перевести смешанные двоичные числа в восьмеричную и шестнадцатеричную системы
101111,01100
100000111,001110
101010,0010

Задание
5. Перевести числа из шестнадцатеричной в двоичную систему счисления
FACC
A24,F9
21D,567