20f

Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве называется длина общего перпендикуляра, проведенного к этим прямым.
Если одна из двух скрещивающихся прямых лежит в плоскости, а другая – параллельна этой плоскости, то расстояние между данными прямыми равно расстоянию между прямой и плоскостью.
Если две скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях, то расстояние между этими прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями.

Теорема. Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым сущест­вует и единственен.
Доказательство. Пусть a, b - скрещивающиеся прямые. Через одну из них, например b, проведем плоскость β, параллельную прямой а. Это можно сделать, проведя прямую а', параллельную а и пересекающую b.
Тогда пересекающиеся прямые а', b будут определять искомую плоскость β. Рассмотрим ортогональную проекцию а0 прямой а на плоскость β. Она будет параллельна прямой a и пе­ресечет прямую b в некоторой точке В, которая является ортогональной проекцией некоторой точки А прямой а. Отрезок АВ будет искомым. Действительно, он перпендикулярен плоскости β и, следовательно, перпенди­кулярен прямым b и а0, т.е. он является общим перпендикуляром к прямым a и b.

Докажем единственность. Пусть дан общий перпендикуляр к прямым a и b. Тогда его ортогональная проекция на плоскость β должна совпадать с точкой B, а перпендикуляр, опущенный из точки B на прямую a должен совпадать с отрезком AB. Следовательно, данный общий перпендикуляр будет совпадать с отрезком AB.

В единичном кубе A…D1 найдите расстояние между прямыми AA1 и BC.
Ответ: 1.
Упражнение 1

В единичном кубе A…D1 найдите расстояние между прямыми AA1 и CD.
Ответ: 1.
Упражнение 2

В единичном кубе A…D1 найдите расстояние между прямыми AA1 и BC1.
Ответ: 1.
Упражнение 3

В единичном кубе A…D1 найдите расстояние между прямыми AA1 и CD1.
Ответ: 1.
Упражнение 4

В единичном кубе A…D1 найдите расстояние между прямыми AA1 и CC1.
Упражнение 5

В единичном кубе A…D1 найдите расстояние между прямыми AA1 и BD.
Упражнение 6

В единичном кубе A…D1 найдите расстояние между прямыми AA1 и BD1.
Упражнение 7

В единичном кубе A…D1 найдите расстояние между прямыми AA1 и BD1.
Упражнение 8

В единичном кубе A…D1 найдите расстояние прямыми AB1 и CD1.
Ответ: 1.
Упражнение 9

В единичном кубе A…D1 найдите расстояние между прямыми AB1 и BC1.
Упражнение 10

В единичном кубе A…D1 найдите расстояние между прямыми AB1 и A1C1.
Упражнение 11

В единичном кубе A…D1 найдите расстояние между прямыми AB1 и BD.
Упражнение 12

В единичном кубе A…D1 найдите расстояние прямыми AB1 и BD1.
Упражнение 13

В единичном тетраэдре ABCD найдите расстояние между прямыми AD и BC.
Упражнение 14

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AB и CD.
Ответ: 1.
Упражнение 15

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SA и BD.
Упражнение 16

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SA и BC.
Упражнение 17

В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AB и DE.
Упражнение 18

В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, найдите расстояние между прямыми SA и BC.
Упражнение 19

В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, найдите расстояние между прямыми SA и BF.
Упражнение 20

В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, найдите расстояние между прямыми SA и CE.
Упражнение 21

В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, найдите расстояние между прямыми SA и BD.
Упражнение 22