Диференціальні рівняння

ЗВИЧАЙНІ
диференціальні рівняння
Звичайним диференціальним рівнянням називають рівняння, що зв'язує між собою значення незалежної змінної x, невідомої функції y = f(x) і її похідних (або диференціалів):
Порядком рівняння називається максимальний порядок n, що входить до її похідної (або диференціала).
Приклад: y(4) – y + x = 0 - рівняння четвертого порядку.
Функція y(x) називається розв'язкам (або інтегралом) диференціального рівняння якщо при його підстановці рівняння перетворюється в тотожність.

ЗДР першого порядку
Звичайним диференціальним рівнянням першого порядку називаються рівняння виду:
де x - незалежна змінна, y(x) - невідома функція
Загальний розв'язок:
Приклад: загальний розв'язок:

Рівняння з відокремлюваними змінними
Так називаються рівняння виду
f(x)dx + g(y)dy = 0,
Інтегруємо, отримаємо
- загальний інтеграл (загальний розв'язок) цього рівняння.
Приклад:
- загальний розв'язок

Однорідні рівняння
так називаються рівняння виду
Ці рівняння легко зводяться до рівнянь з відокремлюваними змінними:
Записуємо рівняння у формі:
потім ділимо на g(y) і множимо на dх: .
Це рівняння - з відокремлюваними змінними. Інтегруємо, отримаємо загальний інтеграл:

Виразимо у з останнього виразу як функцію х, отримаємо загальний розв'язок:
Приклад:

Рівняння з однорідною правою частиною. Так називаються рівняння зі спеціальним видом залежності функції f(x, y) від своїх аргументів:
Це рівняння зводяться до рівняння з відокремлюваними змінними відносно нової незалежної функції u(x) заміною:
Підставляємо в рівняння y = x·u, y ′ = u + x·u ′, отримаємо
(це - рівняння з відокремлюваними змінними),
- це загальний інтеграл рівняння відносно змінних x, u

Приклад:
- загальний розв'язок рівняння

Остаточно, отримаємо загальний розв'язок:
Приклад:

Лінійні рівняння
ДР першого порядку називається лінійним, якщо невідома функція y(x) і її похідна входять до рівняння першої степені:
де p(x), q(x) - неперервні функції.
Приклад:

Для розв'язання рівняння представимо y(x) в вигляді добутку двох нових невідомих функцій u(x) і v(x):
y(x) = u(x)v(x).
Тоді
і рівняння зведеться до виду:
або
Це рівняння розв'язуємо у два етапи: спочатку знаходимо функцію v(x) як частинний розв'язок рівняння з відокремлюваними змінними:
потім знаходимо u(x) з рівняння :

Відмітимо, що розв'язуючи рівняння на v(x) ми не вводимо в цей розв'язок довільну сталу C, нам достатньо знайти одну функцію v(x), яка обнуляє доданок за дужками. Запам'ятовувати цю формулу не потрібно, краще засвоїти порядок дій і відтворювати його при розв'язанні кожної задачі.

Приклад:
Розв'язання:
і загальний розв'язок рівняння .

Для знаходження частинного розв'язку, що відповідає початковим умовам (задача Коші), підставимо в загальний розв'язок
Розв'язок задачі:

Рівняння в повних диференціалах
так називається рівняння виду
(P(x, y), Q(x, y) - неперервно диференційовані) у випадку, якщо його ліва частина є повним диференціалом деякої функції u(x, y), тобто якщо існує така функція u(x, y), що
Необхідною і достатньою умовою існування такої функції є умова:
Якщо – рівняння в повних диференціалах, то його перша частина дорівнює 0, тобто приймає вигляд du(x, y) = 0. При розв'язанні y(x) одержимо du(x, y(x)) = 0, отже u(x, y(x)) = C, де C – довільна стала.
Співвідношення u(x, y) = C – загальний розв'язок рівняння в повних диференціалах.
P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0.

Для знаходження функції u(x, y) розв'язується система рівнянь
з першого рівняння цієї системи знаходимо:
з точністю до довільної диференційованої по y функції
(ця функція відіграє роль сталої інтегрування; оскільки інтегрування відбувається по змінній x.
Диференціюємо цю функцію по y і прирівнюємо до виразу, що стоїть у другому рівнянні системи (тобто ), отримаємо диференціальне рівняння з якого можна знайти .

Приклад: знайти загальний розв'язок рівняння
Впевнимся, що це - рівняння в повних диференціалах.
.

ЗДР вищих порядків
Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, що зв'язує між собою значення незалежної змінно x, невідомої функції
y = f(x) і її похідних (або диференціалів):
Загальним розв'язкам (загальним інтегралом) рівняння називається співвідношенням виду:

Деякі типи рівнянь, що допускають пониження порядку.
Рівняння виду
розв'язується послідовним n-кратним інтегруванням.
Перепозначивши сталі, загальний розв'язок запишемо у вигляді :
y = cos x + C1x3 + C2x2 + C3x + C4.
Приклад:

Рівняння, не містить в явному вигляді невідому функцію та похідні нижчого порядку.
Порядок рівняння виду F(x, y(k), y(k+1), y(k+2), …,y(n)) = 0, що не містить функції y(x) і (k – 1) нижчу похідну цієї функції в явному вигляді, може бути знижено рівно на k одиниць введенням нової невідомої функції
z(x) = y(k)(x). Тоді рівняння прийме вигляд
тобто буде рівнянням (n – k)-го порядку.
Після знаходження z(x) послідовним інтегруванням розв'язується рівняння y(k)(x)= z(x).

Приклад: Понизити порядок рівняння:
Найменша похідна, що входить в явній формі до рівняння, - друга, тому робимо заміну шуканої функції:
Тоді
і рівняння прийме вигляд

Рівняння, що не містить в явному вигляді незалежну змінну x.
Порядок рівняння
що не містять явно x, може бути знижений на 1 за допомогою прийому, який полягає в тому, що вводиться нова функціональна залежність від y:
Приклад: Понизити порядок рівняння:
Змінна x явно до рівняння не входить, тому вважаєм,
тоді .
Просто скоротить на p це рівняння неможливо, оскільки можна втратити розв'язки
тому розглядають два випадки:

Лінійні однорідні диференціальні рівняння
другого порядку із сталими коефіцієнтами

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння
другого порядку із сталими коефіцієнтами

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння
другого порядку із сталими коефіцієнтами та
спеціальною правою частиною