Алгоритмы и структуры данных

Соболевская Елена Павловна
доцент кафедры дискретной математики и алгоритмики,
кандидат физико-математических наук, доцент
Лауреат премии имени А.Н. Севченко в номинации «Образование»
за цикл пособий по дискретной математике, проектированию и анализу алгоритмов
http://fpmi.bsu.by/main.aspx?guid=30051
ФПМИ БГУ
Лектор

Буславский Александр Андреевич
старший преподаватель кафедры дискретной математики и алгоритмики,
Лауреат специального фонда Президента Республики Беларусь по социальной поддержке одарённых учащихся и студентов.
http://fpmi.bsu.by/main.aspx?guid=39321
ФПМИ БГУ
Практические занятия
Соболевская Елена Павловна
доцент кафедры дискретной математики и алгоритмики,
кандидат физико-математических наук, доцент
Лауреат премии имени А.Н. Севченко в номинации «Образование»
за цикл пособий по дискретной математике, проектированию и анализу алгоритмов
http://fpmi.bsu.by/main.aspx?guid=30051

Информационно-коммуникационные технологии:
Образовательный портал БГУ https://edufpmi.bsu.by
Образовательная платформа Insight Runner https://acm.bsu.by/
Группы в мессенджере Telegram, сервисы Google.
ФПМИ БГУ

Соболь Сергей Александрович
инженер-программист ООО ЯндексБел,
старший преподаватель кафедры дискретной математики и алгоритмики (2014-2020 год),
магистр математики и информационных технологий,
cеребряная медаль ACM ICPC 2013.
Разработчик Образовательной платформы Insight Runner
ФПМИ БГУ

Insight Runner
ФПМИ БГУ
https://acm.bsu.by/
логин номер вашего студенческого (семь цифр)
пароль (по умолчанию): 11111
После первого входа в iRunner необходимо сменить пароль и установить двухфакторную аутентификацию (для исключения противоправных действий в системе при несанкционированном доступе.)

Insight Runner Wiki
(руководство по работе)

ФПМИ БГУ
Insight Runner Wiki

ФПМИ БГУ
Для самоконтроля усвоения теоретического материала в Insight Runner разработана система тестов.
Тесты разработаны для большинства разделов учебной дисциплины.
Ответы к тестам (на усмотрение преподавателя) могут быть открыты после прохождения теста всеми учащимися.
Так как тесты в iRunner генерируются автоматически, то это позволяет бороться со списыванием.
Итоговый тест включает в себя 10 тестовых вопросов (20 минут) и его результат учитывается в рейтинговой оценке за работу в семестре.
Insight Runner
(тесты для самоконтроля)

ФПМИ БГУ
Insight Runner
(тесты для самоконтроля)

ФПМИ БГУ
Для закрепления на практике теоретических знаний в Insight Runner разработаны общие задачи (их должны выполнить все студенты).
Общие задачи открываются в iRunner, как правило, после каждой лекции и нацелены на проработку базовых знаний по пройденному на лекции материалу.
Эти задачи достаточно простые, не предполагают разработки сложных алгоритмов решения, а готовят студентов к решению индивидуальных задач.
Insight Runner
(общие задачи)
Преподаватель может установить крайний срок выполнения задания. Задания, выполненные с нарушением этого срока, в системе iRunner имеют особые пометки.

ФПМИ БГУ
Тема 1. Бинарные поисковые деревья:
0.1 построение дерева
0.2 удаление вершин из дерева
0.3 проверка является ли бинарное дерево поисковым
Тема 2. Динамическое программирование
0.1 Оптимальное перемножение группы матриц (двухмерное ДП)
0.2 Единицы - число сочетаний из n по k(одномерное ДП, модульная арифметика)
0.3. Единицы (большие ограничения, только для желающих)
20. Палиндром (двухмерное ДП, строки)
69. Кувшинки (простейшее одномерное ДП)
Тема 3. Структуры данных
0.1. Бинарный поиск (массив, уметь реализовать BinarySearch, LowerBound, UpperBound)
0.2 Задача о сумме (реализация структур для интервальных запросов - сумма на отрезке)
0.3. Бинарная куча (проверка на соответствие структуре)
0.4. Биномиальная куча (понимание структуры)
0.5. Хеш-таблица (разрешение коллизий метом открытой адресации)
Тема 4. Алгоритмы на графах
0.1 Строительство дорог ( DSU + алг. на графах)
0.2 Разрушение дорог ( DSU + алг. на графах)
0.3 Разрушение дорог (большие ограничения, только для желающих)
0.4 Матрица смежности
0.5. Канонический вид (по списку дуг)
0.6. Список смежности
0.7 Канонический вид (по матрице смежности)
0.8 BFS (поиск в ширину)
0.9 DFS (поиск в глубину)
0.10 Кратчайший путь. Алгоритм Дейкстры
0.11 Максимальный поток в сети (простая версия)
0.12 Максимальный поток в сети (большие ограничения, только для желающих)
Insight Runner
(общие задачи)

ФПМИ БГУ
Insight Runner
(общие задачи)

ФПМИ БГУ
В рамках учебной дисциплины студентами также выполняются индивидуальные задачи.
Число индивидуальных задач - по каждой теме не менее одной.
Индивидуальная задача предполагает разработку эффективного алгоритма решения задачи с последующей реализацией его в Insight Runner на любом языке программирования.
С 2016 г. в учебных курсах ограничивается до пяти число решений, которые можно отправить по каждой из назначенных задач в течение суток. На протяжении любого 24-часового отрезка времени разрешается отправить не более чем пять решений по каждой задаче. Ограничение не привязано к наступлению новых суток в 00:00. Решения с вердиктом «Ошибка компиляции» при подсчёте оставшихся попыток игнорируются.
Отметим, что в течение многих лет для всех студентов, которые работали в старой версии системы Insight Runner, действовало ограничение в двадцать попыток по задаче в семестр. Это ограничение было нельзя увеличить индивидуально. Политика ограничения числа посылок в день вместо ограничения общего числа посылок является более гибкой и применяется во многих системах, например на платформе Kaggle.
Призываем вас более качественно тестировать свои решения перед отправкой!!!
Insight Runner
(индивидуальные задачи)

ФПМИ БГУ
Insight Runner
(индивидуальные задачи)

ФПМИ БГУ
Insight Runner
проверка на плагиат
)

ФПМИ БГУ
Insight Runner
проверка на плагиат

ФПМИ БГУ
В.М. Котов, Е. П. Соболевская, А. А. Толстиков. «Алгоритмы и структуры данных»: учеб. пособие Минск: БГУ, 2011г. – 267 с. – (Классическое университетское издание).
Теория алгоритмов: учеб. пособие / П.А. Иржавский, В.М. Котов, А.Ю. Лобанов, Ю.Л. Орлович, Е.П. Соболевская – Минск : БГУ, 2013. – 159 с.
Сборник задач по теории алгоритмов : учеб.-метод. пособие / В.М. Котов, Ю.Л. Орлович, Е.П. Соболевская, С.А. Соболь – Минск : БГУ, 2017.- 183с
Соболь С.А., Вильчевский К.Ю., Котов В.М., Соболевская Е.П. Сборник задач по теории алгоритмов. Структуры данных: – Минск : БГУ, 2020. – 159 с. (с грифом УМО по естественнонаучному образованию).
Литература
Алгоритмы: построение и анализ / Т. Кормен [и др.] – М.: Вильямс, 2005. – 1296 c.
Литература

Для выполнения первой индивидуальной задачи, необходимо обладать навыками работы с бинарными поисковыми деревьями.
Частично вы уже получили эти навыки в рамках дисциплин по программированию, поэтому сейчас систематизируем их.
ФПМИ БГУ
Insight Runner
(индивидуальное задание № 1)

Словарные операции
поиск элемента с заданным ключом х
добавление нового элемента с заданным ключом х
удаление элемента с заданным ключом х
ФПМИ БГУ

Бинарное поисковое дерево
Поисковое
5. Каждой вершине поставлено в соответствие некоторое целое число - ключ. Для каждой вершины v все ключи в её левом поддереве строго меньше ключа вершины v, а в правом – строго больше.
корень
n – число вершин
m=n-1 – число дуг
ФПМИ БГУ
Корневое дерево
Ориентированный граф, в котором существует ровно одна вершина без входящих дуг (корень).
В каждую вершину, за исключением корня, входит ровно одна дуга.
Из корня дерева существует единственный путь в любую вершину.
Бинарное
4. Каждая вершина содержит не более 2-х сыновей.

10
18
23
21
22
20
19
11
13
14
17
3
4
6
8
9
7
2
1
Построить бинарное поисковое дерево для последовательности элементов последовательным добавлением нового элемента:
ФПМИ БГУ
2, 1, 6, 4, 3, 10, 9, 8, 7, 18, 17, 14, 13, 11, 19, 20, 22, 23, 21

10
18
23
21
22
20
19
11
13
14
17
3
4
6
8
9
7
2
1
ФПМИ БГУ
6
??? добавить
так как мы договорились (см. определение) , что в дереве все ключи различны, то одинаковые элементы при добавлении будем игнорировать

10
18
23
21
22
20
19
11
13
14
17
3
4
6
8
9
7
2
1
Высота вершины: длина наибольшего пути от вершины до одного из её потомков.
высота (10) = 5
Высота дерева: высота корня.
высота (дерева) = 7
Глубина вершины: длина пути из корня в вершину (этот путь единственный).
глубина (10) = 2
Уровень вершины: высота дерева минус глубина вершины
уровень (10) = высота (дерева)- глубина (10) =7 – 2 = 5
ФПМИ БГУ
Высота, глубина, уровень
0-й уровень
1-й уровень
2-й уровень
7-й уровень
3-й уровень
4-й уровень
5-й уровень
6-й уровень

10
18
23
21
22
20
19
11
13
14
17
3
4
6
8
9
7
2
1
Для полупути снимается ограничение на направление дуг.
Пример полупути, соединяющего вершины 1 и 7: 1 - 2 - 6 - 10 - 9 - 8 - 7
ФПМИ БГУ
Путь, полупуть

10
18
23
21
22
20
19
11
13
14
17
3
4
6
8
9
7
2
1
Центральная вершина полупути -
такая вершина, что количество вершин в полупути до неё равно количеству вершин после неё.
Средняя по значению (медиана) вершина полупути -такая вершина, что у половины из оставшихся вершин этого полупути ключ меньше, а у половины – больше.
Что делать, если число вершин, среди которых надо найти центральную или среднюю ЧЁТНО?
ФПМИ БГУ
Центральная и средняя вершины полупути
?
центральной и средней вершины
НЕ СУЩЕСТВУЕТ

10
18
23
21
22
20
19
11
13
14
17
6
8
9
2
Наибольшим полупутём в дереве будем называть полупуть наибольшей длины (напомним, что длина пути измеряется в рёбрах, а не вершинах).
ФПМИ БГУ
Корнем полупути назовём вершину полупути с самой большой высотой (на рисунке выделены два наибольших полупути и у них общий корень 18).

10
18
23
21
22
20
19
11
13
14
17
3
4
6
8
9
2
10
18
23
21
22
20
19
11
13
14
17
3
4
6
8
9
2
Пример.
1) Длина наибольшего полупути?
2) Какие вершины являются корнями полупутей наибольшей длины?
3) Сколько попарно различных полупутей наибольшей длины проходит через вершину 18?
ФПМИ БГУ
=5
=8
=18 и 6

прямой (левый, правый) - PreOrderTraversal (v)
ФПМИ БГУ
Обходы
обратный (левый, правый) - PostOrderTraversal (v)
внутренний (левый, правый) - InOrderTraversal (v)
Время выполнения обхода: пропорционально числу вершин в дереве (=n)

10
18
23
21
22
20
19
11
13
14
17
3
4
6
8
9
2
1
7
прямой левый обход
def PreOrderTraversal (v):
if v is not None:
Action (v) PreOrderTraversal (v.left)
PreOrderTraversal (v.right)
прямой правый обход
def PreOrderTraversal (v):
if v is not None:
Action (v)
PreOrderTraversal (v.right)
PreOrderTraversal (v.left)
прямой левый обход
прямой правый обход
2, 1, 6, 4, 3, 10, 9, 8, 7, 18, 17, 14, 13, 11, 19, 20, 22, 21, 23
2, 6, 10, 18, 19, 20, 22, 23, 21, 17, 14, 13, 11, 9, 8, 7, 4, 3, 1
ФПМИ БГУ

10
18
23
21
22
20
19
11
13
14
17
3
4
6
8
9
2
1
7
обратный левый обход
def PostOrderTraversal (v):
if v is not None:
PostOrderTraversal (v.left) PostOrderTraversal (v.right)
Action (v)
обратный правый обход
def PostOrderTraversal (v):
if v is not None:
PostOrderTraversal (v.right)
PostOrderTraversal (v.left)
Action (v)
обратный левый обход
обратный правый обход
1 ,3, 4, 7, 8, 9, 11, 13, 14, 17, 21, 23, 22, 20, 19, 18, 10, 6, 2
23, 21, 22, 20, 19, 11, 13, 14, 17, 18, 7, 8, 9, 10, 3, 4, 6, 1, 2
ФПМИ БГУ

10
18
23
21
22
20
19
11
13
14
17
3
4
6
8
9
2
1
7
внутренний левый обход
def InOrderTraversal (v):
if v is not None:
InOrderTraversal (v.left) Action (v)
InOrderTraversal (v.right)
внутренний правый обход
def InOrderTraversal (v):
if v is not None:
InOrderTraversal (v.right)
Action (v)
InOrderTraversal (v.left)
внутренний левый обход
(ключи отсортированы по возрастанию)
внутренний правый обход
(ключи отсортированы по убыванию)
1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23
23, 22, 21, 20, 19, 18, 17, 14, 13, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 4, 3, 2, 1
ФПМИ БГУ

ФПМИ БГУ
Примеры задач
Найти высоту дерева.
Определить, является ли дерево сбалансированнным по высоте.
Найти длину наибольшего полупути (корни полупутей наибольшей длины).
Проверить, является ли дерево идеально-сбалансированным по числу вершин.
Найти среднюю по значению вершину в дереве.
Найти среднюю по значению вершину среди вершин, у которых высоты поддеревьев совпадают.
Найти среднюю по значению вершину среди вершин некоторого пути.

Обратный левый (или правый) обход
если вершина v лист, то её высота равна 0;
если у вершины v только одно поддерево, то её высота равна высоте этого поддерева +1;
если у вершины v есть оба поддерева, то её высота равна максимуму из высот поддреревьев, увеличенному на 1.
10
18
23
21
22
20
19
11
13
14
17
6
8
9
2
0
1
0
0
0
1
2
3
1
2
4
5
6
7
3
Найти высоту дерева.
Определить, является ли дерево сбалансированнным по высоте (для всех вершин высоты их подеревьев должны отличаться не более, чем на 1.
ФПМИ БГУ
Нужно знать высоту каждой вершины.

10
18
23
21
22
20
19
11
13
14
17
6
8
9
2
0
1
0
0
0
1
2
3
1
2
4
5
6
7
3
Зная метки высот, можно найти длину наибольшего полупути и его корень:
Вершина 18: 3+3+2=8
является корнем наибольшего полупути.
Длина наибольшего полупути равна 8.
3) Найти длину наибольшего полупути (корни полупутей наибольшей длины).
ФПМИ БГУ
найдём ту вершину v, для которой сумма меток высот её поддеревьев, увеличенная на число 2 или 1 (в зависимости от того, сколько поддеревьев у вершины v), является наибольшей.

10
18
23
21
22
20
19
11
13
14
17
6
8
9
2
0
1
0
0
0
1
2
3
1
2
4
5
6
7
3
3) Найти длину наибольшего полупути и указать корни полупутей наибольшей длины.
ФПМИ БГУ
1
0
7
2
Вершины 2, 10, 18 являются корнями полупутей наибольшей длины 8.
Вопрос 1.
Сколько полупутей наибольшей длины проходит через вершины?
1
2
10
18
19
Вопрос 2.
Через какие вершины пройдёт наибольшее число полупутей наибольшей длины?

если вершина v лист, то её метка равна 1;
если у вершины v только одно поддерево, то её метка равна метке этого поддерева +1;
если у вершины v есть оба поддерева, то её метка равна сумме меток поддеревьев, увеличенной на 1.
10
18
23
21
22
20
19
11
13
14
17
6
8
9
2
1
2
1
1
1
2
3
4
3
4
10
13
14
15
5
4) Проверить, является ли дерево идеально-сбалансированным по числу вершин: для каждой вершины число вершин в поддеревьях должно отличаться не более, чем на 1 (для простоты вычислений, если у вершины отсутствует поддерево, то число вершин в таком поддереве полагается равным 0).
ФПМИ БГУ
Нужно знать число вершин в каждом поддереве.
Обратный левый (или правый) обход

Выполнить любой обход дерева и подсчитать число вершин (n=15).
Если n – чётно, то полагаем, что средней не существует.
Если n – нечётно, то выполним внутренний обход, считая пройденные во время этого обхода вершины. Остановимся, как только счётчик пройденных вершин станет равным [n/2]+1 (=8).
10
18
23
21
22
20
19
11
13
14
17
6
8
9
2
1
2
3
4
5
6
7
8
ФПМИ БГУ
5) Найти среднюю по значению вершину в дереве
(не использовать дополнительную память, зависящую от n, решить задачу за линейное от количества вершин время).
Сначала нужно узнать, чётно или нет число вершин в дереве.
Если число вершин нечётно, то средняя вершина существует и её можно найти, просматривая вершины дерева, например, по неубыванию ключей.
на рис. показана нумерация вершин при обходе:
def InOrderTraversal (v):
if v is not None:
InOrderTraversal (v.left)
Action (v)
InOrderTraversal (v.right)

Сначала обратным обходом расставить вершинам метки высот. Во время этого же обхода подсчитать количество вершин, у которых метки высот поддеревьев совпали. Пусть у нас m таких вершин.
Если m – чётно, то средней не существует.
Если m – нечётно, то выполним внутренний обход, считая при этом только лишь те вершины, для которых высоты их поддеревьев совпадают. Остановимся, как только счётчик станет равным [m/2]+1.
18
23
22
20
19
11
12
14
17
0
1
2
4
3
3
2
1
0
21
0
13
0
ФПМИ БГУ
6) Найти среднюю по значению вершину среди вершин, у которых высоты поддеревьев совпадают.
Сначала нужно определить нужные вершину, узнать чётно или нет их количество. Если нечётно, то средняя вершина существует и её можно найти, просматривая нужные вершины, например, по неубыванию ключей.
Внутренний (левый) обход:
11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23

m
i
a
t
u
s
b
p
f
вершина t является средней по значению
f
p
m
i
b
s
u
t
ФПМИ БГУ
7) Найти среднюю по значению вершину среди вершин некоторого пути.
Предположим, что задан корень этого пути.

Удаление вершины
ФПМИ БГУ
Случай 1. Удаляется лист.
Случай 2. Удаляется вершина, у которой есть только одно поддерево
Случай 3. Удаляется вершина, у которой есть оба поддерева (возможно «правое» или «левое» удаление).

ФПМИ БГУ
Случай 1. Удаляется лист.

ФПМИ БГУ
Случай 2. Удаляется вершина, у которой есть только одно поддерево.

ФПМИ БГУ
Случай 2. Удаляется вершина, у которой есть только одно поддерево

10
18
23
21
22
20
19
11
13
14
17
6
8
9
2
правое удаление
11
18
23
21
22
20
19
13
14
17
6
8
9
2
12
11
ФПМИ БГУ
Случай 3. Удаляется вершина, у которой есть оба поддерева ( «правое» удаление).

10
18
23
21
22
20
19
11
13
14
17
6
8
9
2
левое удаление
9
18
23
21
22
20
19
13
14
17
6
8
2
12
9
ФПМИ БГУ
Случай 3. Удаляется вершина, у которой есть оба поддерева ( «левое» удаление).

!!! Если у удаляемой вершины только одно поддерево, то НЕТ ПОНЯТИЯ ПРАВОЕ/ЛЕВОЕ
удаление. Удаление всегда выполняется однозначно.
Найти вершину, которая удовлетворяет заданному свойству. Удалить эту вершину (правое удаление).
?
(рис.1)
или
ФПМИ БГУ
(рис.2)
Ответ: правильно выполнено удаление на рис. 1.

Оценки числа операций
в худшем случае
10
18
19
6
2
построение дерева для последовательности из n элементов
поиск элемента с заданным ключом x
добавление элемента с заданным ключом х
в худшем случае высота дерева
h = n-1
обход дерева из n вершин
удаление элемента с заданным ключом x
ФПМИ БГУ
h
h
n·h
n
h

Георгий
Максимович
Адельсон-Вельский
Евгений
Михайлович
Ландис
В 1962 году советские учёные Г.М. Адельсон-Вельский и Е.М. Ландис предложили структуру данных сбалансированного поискового дерева (АВЛ-дерево).

ФПМИ БГУ
В рамках дисциплины мы подробно исследуем эту структуру данных, а пока - краткая информация о ней.

АВЛ-дерево – это бинарное поисковое дерево, которое является сблансированным по высоте.
2
4
1
3
5
Свойство сбалансированности по высоте:
для каждой вершины дерева высоты её поддеревьев отличаются не более, чем на 1.
ФПМИ БГУ
АВЛ-дерево
2
4
3
5
не является АВЛ-деревом, так как для вершины 2 не выполняется свойство сбалансированности

ТЕОРЕМА. Пусть n – число внутренних вершин АВЛ-дерева, а h – его высота.
Тогда справедливы следующие неравенства:
ФПМИ БГУ

Использование поисковых деревьев на практике
ФПМИ БГУ

Сортировка деревом
1. По последовательности чисел сначала построим АВЛ-дерево последовательным добавлением элемента. n*log n
2. Выполним внутренний левый обход дерева.
n
ФПМИ БГУ
Предположим, что на вход поступаю числа, среди которых нет повторяющихся. Необходимо выдать числа в порядке возрастания.
Какое время работы алгоритма сортировки деревом худшем случае, если на вход поступило n чисел?
n*log n

Абстрактный тип данных: множество (set)
Множество (англ. set) —хранит набор попарно различных объектов без определённого порядка.
Интерфейс множества включает три основные операции:
Insert(x) — добавить в множество ключ x;
Contains(x) — проверить, содержится ли в множестве ключ x;
Remove(x) — удалить ключ x из множества.
ФПМИ БГУ
Для реализации интерфейса множества обычно используются такие структуры данных, как:
сбалансированные поисковые деревья: например, AVL-деревья, 2-3-деревья, красно-чёрные деревья.
хеш-таблицы.
В стандартной библиотеке C++ есть контейнер std::set, который реализует множество на основе сбалансированного дерева (обычно красно-чёрного), и контейнер std::unordered_set, построенный на базе хеш-таблицы.
В языке Java определён интерфейс Set, у которого есть несколько реализаций, среди которых классы TreeSet (работает на основе красно-чёрного дерева) и HashSet (на основе хеш-таблицы).
В языке Python есть только встроенный тип set, использующий хеширование, но нет готового класса множества, построенного на сбалансированных деревьях.

Абстрактный тип данных ассоциативный массив (map)
Ассоциативный массив (англ. associative array), или отображение (англ. map), или словарь (англ. dictionary), —хранит пары вида (ключ, значение), при этом каждый ключ встречается не более одного раза.
Название «ассоциативный» происходит от того, что значения ассоциируются с ключами.
Интерфейс ассоциативного массива включает операции:
Insert(k,v) — добавить пару, состоящую из ключа k и значения v;
Find(k) — найти значение, ассоциированное с ключом k, или сообщить, что значения, связанного с заданным ключом, нет;
Remove(k) — удалить пару, ключ в которой равен k.
ФПМИ БГУ
Данный интерфейс реализуется на практике теми же способами, что и интерфейс множества. Реализация технически немного сложнее, чем множества, но использует те же идеи.
Для языка программирования C++ в стандартной библиотеке доступен контейнер std::map, работающий на основе сбалансированного дерева (обычно красно-чёрного), и контейнер std::unordered_map, работающий на основе хеш-таблицы.
В языке Java определён интерфейс Map, который реализуется несколькими классами, в частности классом TreeMap (базируется на красно-чёрном дереве) и HashMap (базируется на хеш-таблице).
В языке Python очень широко используется встроенный тип dict. Этот словарь использует внутри хеширование.

Сборник задач по теории алгоритмов : учеб.-метод. пособие / В.М. Котов, Ю.Л. Орлович, Е.П. Соболевская, С.А. Соболь – Минск : БГУ, 2017. С. 122-180
Литература по теме: «Бинарные поисковые деревья»
https://acm.bsu.by/wiki/Программная_реализация_бинарных_поисковых_деревьев
ФПМИ БГУ
0.1 построение дерева
0.2 удаление вершин из дерева
0.3 проверка является ли бинарное дерево поисковым
Общие задачи в iRunner
Индивидуальная задача по теме «Деревья поиска» в iRunner