Содержание
- 2. Основные задачи метода координат
- 3. Прямоугольная система координат Определение: Прямоугольной (декартовой) системой координат на плоскости называется две взаимно перпендикулярные оси Ох
- 4. Число х называется абсциссой, у – ординатой точки М. Упорядоченная пара (х; у) называется координатами точки
- 5. Расстояние от точки М(х; у) до начала координат определяется по формуле: (1) Теорема: Для любых двух
- 6. Пример: Даны точки . Найти расстояние между этими точками. Решение: Используя формулу (2) получим:
- 7. Деление отрезка в данном отношении Пусть на плоскости дан произвольный отрезок М1М2 и пусть М –
- 8. Задача о делении отрезка в данном отношении состоит в том, чтобы по данному отношению λ и
- 9. Следствие: Если точка М делит отрезок М1М2 пополам, то есть ( ), то координаты этой точки
- 10. Пример: Даны точки М1(1; 1) и М2(7; 4). Найти точку М, которая в два раза ближе
- 11. Полярная система координат Полярная система координат состоит из точки О, называемой полюсом, и исходящего из него
- 12. Установим связь между прямоугольными и полярными координатами точки. Для этого совместим начало прямоугольной и полярной систем
- 13. Тогда из прямоугольного треугольника ONM получим: (6) (7) (6) - выражает прямоугольные координаты через полярные. (7)
- 14. Пример: Найти полярные координаты точки Решение: Воспользуемся формулами (7): Так как точка лежит в четвертой четверти,
- 15. Пример: Найти прямоугольные координаты точки Решение: Воспользуемся формулами (6): Таким образом, прямоугольные координаты данной точки имеют
- 16. Уравнение прямой на плоскости
- 17. Уравнение прямой с угловым коэффициентом Определение: Углом наклона прямой, образованным с положительным направлением оси Ох называется
- 18. Выведем уравнение прямой, если ее положение определено величиной отрезка отсекаемого на оси Оу и угловым коэффициентом
- 19. Из треугольника: но (2) (2) – уравнение прямой с угловым коэффициентом. При прямая образует с осью
- 20. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении Выведем уравнение прямой, если ее положение определяется
- 21. (3) – уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении. Изменяя угловой коэффициент k (направление
- 22. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки Пусть положение прямой определяется двумя данными точками М1(х1; у1)
- 23. Но прямая проходит через точку М2(х2; у2). Следовательно, координаты этой точки также удовлетворяют уравнению: Откуда Подставим
- 24. Если х1=х2 , то уравнение прямой имеет вид: х=х1, и прямая параллельна оси Оу. Если у1=у2
- 25. Пример: Составить уравнение прямой, проходящей через точки М1(2; 3) и М2(3; –1). Решение: Воспользуемся формулой (4):
- 26. Пример: Составить уравнение прямой, проходящей через точки и Решение: Воспользуемся формулой (4): На ноль делить нельзя,
- 27. Общее уравнение прямой Теорема: В прямоугольной системе координат любая прямая задается уравнением первой степени: (5) где
- 28. Уравнение прямой «в отрезках» Рассмотрим общее уравнение прямой: при условии, что все коэффициенты отличны от нуля.
- 29. Введем обозначение: Тогда уравнение прямой примет вид: (6) (6) – уравнение прямой «в отрезках». Замечание: в
- 30. Геометрический смысл уравнения (6) состоит в том, что числа и являются величинами отрезков, которые прямая отсекает
- 31. Пример: Прямая задана уравнением По данному уравнению прямой составить уравнение прямой «в отрезках» и построить прямую.
- 32. Угол между двумя прямыми Пусть заданы прямые L1 и L2 уравнениями: и , где При пересечении
- 33. Определим угол между прямыми: Тогда Так как , то отсюда следует, что (7) (7) – определяет
- 34. Пример: Две прямые заданы уравнениями: . Найти угол между этими прямыми. Решение: Воспользуемся формулой (7): Так
- 35. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых Если прямые L1 и L2 параллельны, то и то есть
- 36. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых Если прямые L1 и L2 перпендикулярны, то то есть (9)
- 37. Расстояние от точки до прямой Пусть на плоскости Оху задана прямая L общим уравнением Требуется найти
- 38. Пример: Определить расстояние от точки до прямой Решение: Воспользуемся формулой (10): Приведем уравнение прямой к общему
- 39. Кривые второго порядка
- 40. Окружность Определение: Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра окружности). Если центр
- 41. Если r – радиус окружности, а точка С(a; b) – ее центр, то каноническое уравнение окружности
- 42. Эллипс Определение: Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух
- 43. По определению и, следовательно, или . Каноническое уравнение эллипса имеет вид: (3) где (4) , a
- 44. – длина большой оси эллипса, – длина малой оси эллипса, О – центр эллипса, – вершины
- 45. Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение половины расстояния между фокусами к длине большой полуоси эллипса: (5). Так
- 46. При эллипс расположен вдоль оси Оу. В этом случае оси Ох и Оу поменялись местами: большая
- 47. Гипербола Определение: Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до
- 48. По определению и, следовательно, или . Каноническое уравнение гиперболы имеет вид: (6) где (7) , a
- 49. Для построения гиперболы необходимо сначала построить осевой прямоугольник, затем провести диагонали этого прямоугольника, которые являются асимптотами
- 50. – длина действительной оси гиперболы, – длина мнимой оси гиперболы, – центр гиперболы, – вершины гиперболы,
- 51. Определение: Эксцентриситетом гиперболы называется отношение половины расстояния между фокусами к длине действительной полуоси гиперболы: (9). Так
- 52. Определение: Две гиперболы, у которых оси совпадают и равны, но действительная ось одной из них служит
- 53. Асимптоты сопряженных гипербол совпадают, а сами гиперболы расположены в смежных углах между асимптотами.
- 54. Парабола Определение: Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной
- 55. Согласно определению точка М будет лежать на параболе, когда , где r – расстояние от точки
- 56. Парабола расположена симметрично относительно оси Ох , ветви направлены вправо. Директрисой параболы является прямая , а
- 57. Парабола , расположена симметрично относительно оси Ох , ветви направлены влево. Вершина параболы находится в точке
- 58. Парабола , расположена симметрично относительно оси Оу , ветви направлены вверх. Вершина параболы находится в точке
- 60. Скачать презентацию