Числовые ряды

1.Числовые ряды. Определение.
2.Необходимый признак сходимости.
3.Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.
4.Знакопеременные ряды.
5.Знакочередующиеся ряды.
6.Признак Лейбница.
План

Сумма ряда или ряд, — математическое выражение, позволяющее записать бесконечное количество слагаемых и подразумевающее значение их суммы, которое можно получить в предельном смысле. Если значение суммы (в предельном смысле) существует, то говорят, что ряд сходится. В противном случае говорят, что он расходится

Пусть дана бесконечная последовательность чисел:
(1)
Выражение:
(2)
называется числовым рядом, а числа - членами ряда.
Суммы
называются частичными
суммами ряда. (2)

Если последовательность частичных сумм имеет
конечный предел
(3)
то этот предел называется суммой ряда. В этом случае ряд называется сходящимся.Если же предел (3) не существует или равен ∞ то ряд расходится и суммы не имеет.

Необходимый признак сходимости ряда
● Если ряд сходится, то его общий член
к нулю при
стремится
неограниченном возрастании номера n :
(4)
При нарушения условия (4) ряд заведомо расходится.
Заметим, что из сходимости ряда (2) следует сходимость
его остатка
остатка ряда
и, наоборот,
сходимости
из
следует сходимость
исходного ряда.
Иначе говоря
, если отбросить
число
конечное
начальных членов ряда
, то это не отразится
на сходимости
(расходимости) ряда.

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.
1) Признак сравнения рядов
(5)
(6)
● Если, начиная с некоторого номера n ϵ N,
неравенство
выполняется
, то
из сходимости ряда (6)
следует
сходимость ряда (5) и из расходимости ряда (5)
следует
расходимость ряда (6).

2) Признак Даламбера.
● Если существует предел
то при ℓ<1
ряд (5) сходится ,
о сходимости ряда остается переменным.
а при ℓ>1 расходится.
При ℓ=1
вопрос
3) Признак Коши
● Если существует предел
при ℓ <1 ряд (5) сходится,
то
Если ℓ=1, то вопрос о сходимости ряда остается
а при ℓ>1 расходится.
нерешенным.

Примеры
1. Написать пять первых членов ряда по данному
общему
члену
(*)
2. Найти для ряда (*) частичную сумму первых n членов( )
Общий член ряда
запишем иначе:

Частичная сумма ряда
Отсюда следует, что ряд (*) сходится и его сумма S=1
3. Написать формулу общего члена для ряда:
формуле 3n+2. (n=1,2,3,…)
Числители членов – четные числа вида 2n,
а
знаменатели
–числа, которые
получаются
по

Учитывая, что знаки членов ряда чередуются, получим
если
,то расходится!
=> ряд расходится
- расходиться!
4. Гармонический ряд

5. Исследовать по признаку Даламбера сходимость ряда:
ℓ=0<1 => ряд сходится.
6. Исследовать по признаку Коши сходимость ряда:
=> сходится

Знакопеременные ряды
Определение: Если члены числового ряда с разными знаками, то такой ряд будет называться
знакопеременным.
● Знакопеременный ряд
(1)
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных
величин его членов
(2)
Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

● Если же ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то ряд (1) называется
условно сходящимся.
Признаки абсолютной сходимости знакопеременного ряда те же, что и сходимости с положительными членами.

Знакочередующиеся ряды
Ряд
(3)
(3`)
где n>0 (n=1,2,3,…) называется знакочередующимся. Этот ряд является частным случаем знакопеременного ряда.

Признак Лейбница
Если члены знакочередующегося ряда (3) убывают по абсолютной величине
и
0
, то такой ряд сходится и сумма
# Исследовать сходимость знакопеременного ряда.
его

Члены данного ряда убывают по абсолютной величине, знаки чередуются
и предел
=>ряд сходится
Составлен ряд
(а)
и сравним его с расходящимся
рядом
(б)
(т.к. расходится гармонический ряд).
Каждый член ряда (а) больше соответственного члена ряда (б), следовательно, ряд (а) расходится, потому данный ряд сходится условно.

Итак: 1) Сходятся условно ряды с общим членом
или
2) Абсолютно сходятся ряды с общим членом
- сходится
3) Расходятся ряды с общим членом