Дифференциальные уравнения

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Какое уравнение называется дифференциальным?
Что называется решением дифференциального уравнения?
Какое решение дифференциального уравнения называется общим?
Какое решение дифференциального уравнения называется частным?
Какие данные называются начальными?
Какие дифференциальные уравнения называются уравнениями первого порядка?
По какому алгоритму находятся решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными?

Рассмотрим задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
Задача №1
Найти закон движения точки, если её скорость задается
Решение:

Задача №2
Составить уравнение кривой, проходящей через
точку А(2;5), если угловой коэффициент касательной равен 2x
Решение:

В предыдущих задачах решались уравнения, содержащие производные.
Это и есть дифференциальные уравнения ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое связывает между собой переменную , искомую функцию и её производные или дифференциалы

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала) входящего в данное уравнение
Решением дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество

Различают общее и частное решения дифференциальных уравнений
Общее решение – содержит произвольные постоянные (по числу порядка)
Если из множества общих решений вычисляется значение С, то получим частное решение (говорят, что решает
задача Коши)

Условия, задающие значения функции в фиксированной точке называются начальными условиями (условиями Коши):
Задача решения уравнения
удовлетворяющего условию
называется задачей Коши

Отличия алгебраического уравнения от дифференциального:
1)Алгебраическое уравнение– это зависимость между
Дифференциальное –выражает соотношение между
2)Решением алгебраического уравнения является число
Решением дифференциального уравнения является функция
3)Дифференциальное уравнение решается интегрированием

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными переменными
Общий вид первого порядка:
1)Если дифференциальное уравнение
можно привести к виду
уравнение с разделенными переменными
Пример:

Алгоритм решения дифференциальных уравнения с разделяющими переменными
1)Производную записать через дифференциальные уравнения
2)Члены уравнения с одинаковыми дифференциальными уравнениями перенести
3)Разделить переменные
4)Проинтегрировать обе части, найти общее решение
5)Если задана задача Коши, найти частное решение

Решить уравнение

Задача Найти закон движения тела по оси ох, если оно начало двигаться из точки М (4; 0) со скоростью v = 2t + 3t2 т.е. v = x'(t)
Итак, закон движения тела имеет вид х = t3+ t2 + 4

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
Из предложенных дифференциальных уравнений выбрать любые три и найти их общее и частное решение