Слайд 2
Дифференциальным уравнением называется уравнение вида
F(x,y,y’,…,y(n)) = 0.
Решением дифференциального уравнения называют любую функцию
![Дифференциальным уравнением называется уравнение вида F(x,y,y’,…,y(n)) = 0. Решением дифференциального уравнения называют](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1048940/slide-1.jpg)
y = y(x) , которая
обращает данное уравнение в тождество.
Слайд 3Функция y = y(x,C1,C2,…,Cn) называется общим решением
дифференциального уравнения, если она обращает дифференциальное
![Функция y = y(x,C1,C2,…,Cn) называется общим решением дифференциального уравнения, если она обращает](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1048940/slide-2.jpg)
уравнение в тождество при
любых значениях постоянных C1,C2,…,Cn.
Слайд 4Порядком дифференциального уравнения называют наибольший порядок производной,
входящей в это уравнение. Рассмотрим дифференциальное
![Порядком дифференциального уравнения называют наибольший порядок производной, входящей в это уравнение. Рассмотрим](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1048940/slide-3.jpg)
уравнение первого порядка. В общем случае оно имеет вид
F(x, y, y’) = 0
Слайд 5Если дифференциальное уравнение можно представить в виде
f1(x)dx = f2(y)dy,
то его называют
![Если дифференциальное уравнение можно представить в виде f1(x)dx = f2(y)dy, то его](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1048940/slide-4.jpg)
уравнением с разделяющимися переменными. Для решения такого уравнения
достаточно проинтегрировать его левую и правую части.
Слайд 6Дифференциальное уравнение первого порядка y’ = f(x, y) называется однородным, если f(x,y)
![Дифференциальное уравнение первого порядка y’ = f(x, y) называется однородным, если f(x,y)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1048940/slide-5.jpg)
является однородной функцией нулевой степени. Однородное дифференциальное уравнение
первого порядка можно представить в виде
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0.
Это уравнение приводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными заменой
y(x) = z(x)x.
Слайд 7Уравнение вида
y’ + P(x)y = Q(x)
называется линейным дифференциальным уравнением первого
![Уравнение вида y’ + P(x)y = Q(x) называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1048940/slide-6.jpg)
порядка.
Слайд 8Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка
Определение: Уравнение вида
называется линейным дифференциальным уравнением первого
![Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Определение: Уравнение вида называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1048940/slide-7.jpg)
порядка.
Слайд 9Уравнения такого вида сводятся к двум уравнениям с разделяющимися переменными с помощью
![Уравнения такого вида сводятся к двум уравнениям с разделяющимися переменными с помощью](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1048940/slide-8.jpg)
подстановки
Y=uv, где u=u(x), v=v(x) – некоторые функции, зависящие от х.
Слайд 10Алгоритм решения:
Вводится подстановка у=uv, тогда y’=u’v+uv’
Исходное уравнение принимает вид:
u’v+uv’+P(x)uv=Q(x)
3) Группируются слагаемые
![Алгоритм решения: Вводится подстановка у=uv, тогда y’=u’v+uv’ Исходное уравнение принимает вид: u’v+uv’+P(x)uv=Q(x)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1048940/slide-9.jpg)
при u
u’v+u(v’+P(x)v)=Q(x)