Дифференциальные уравнения

Дифференциальным уравнением называется уравнение вида
F(x,y,y’,…,y(n)) = 0.
Решением дифференциального уравнения называют любую функцию y = y(x) , которая
обращает данное уравнение в тождество.

Функция y = y(x,C1,C2,…,Cn) называется общим решением
дифференциального уравнения, если она обращает дифференциальное уравнение в тождество при
любых значениях постоянных C1,C2,…,Cn.

Порядком дифференциального уравнения называют наибольший порядок производной,
входящей в это уравнение. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка. В общем случае оно имеет вид
F(x, y, y’) = 0

Если дифференциальное уравнение можно представить в виде
f1(x)dx = f2(y)dy,
то его называют уравнением с разделяющимися переменными. Для решения такого уравнения
достаточно проинтегрировать его левую и правую части.

Дифференциальное уравнение первого порядка y’ = f(x, y) называется однородным, если f(x,y) является однородной функцией нулевой степени. Однородное дифференциальное уравнение
первого порядка можно представить в виде
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0.
Это уравнение приводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными заменой
y(x) = z(x)x.

Уравнение вида
y’ + P(x)y = Q(x)
называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка
Определение: Уравнение вида
называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Уравнения такого вида сводятся к двум уравнениям с разделяющимися переменными с помощью подстановки
Y=uv, где u=u(x), v=v(x) – некоторые функции, зависящие от х.

Алгоритм решения:
Вводится подстановка у=uv, тогда y’=u’v+uv’
Исходное уравнение принимает вид:
u’v+uv’+P(x)uv=Q(x)
3) Группируются слагаемые при u
u’v+u(v’+P(x)v)=Q(x)