Проценты. Задачи 11 из ЕГЭ

Проценты. Реальный случай
Рассмотрим способы решения задач на проценты, требующих сравнения чисел в процентах. Это не простые задачи, они ставят в тупик и взрослых. Вот вам реальный случай.
В Комсомольской правде (14.02.2019) обозреватель отдела экономики написал о монете, полученной из обращения за 1 р.: «А недавно глянул в каталог и обмер: стоит она уже 600 рублей…

Проценты. Реальный случай
Называется «Юбилейный рубль
«Пушкин» 1999 года выпуска.
Как тут не воскликнуть:
«Ай да Пушкин!» — 600 %
прибыли за 20 лет!»
Давайте поправим обозревателя отдела экономики.
В 1999 году юбилейная монета стоила 1 р. В 2019 году она стоила 600 р. На сколько процентов подорожала монета?

Проценты. Реальный случай

Проценты. Задачи 11 из ЕГЭ
Приведём теперь решения задач из ЕГЭ, указывая год выпуска сборника вариантов для подготовки к ЕГЭ, из которого взята задача.
Заметим, что при решении задач на проценты лучше обходиться без пропорций, в чём можно убедиться, решив рассмотренные ниже задачи с помощью пропорций.
Начнём с задачи на «сухое вещество».

Повторяем проценты. ЕГЭ-2018

Повторяем проценты. ЕГЭ-2018

Подготовительная задача

Подготовительная задача. Выводы

ЕГЭ-2019
3. Одиннадцать одинаковых рубашек дешевле куртки
на 1 %. На сколько процентов четырнадцать таких же
рубашек дороже куртки?
Решение. Пусть r — цена рубашки, k — цена куртки (в руб.).
Тогда верны равенства:
11r = k – 0,01k, 11r = 0,99k, r = 0,09k, 14r = 1,26k.
Последнее равенство означает, что 14 рубашек стоят k + 0,26k, т. е. дороже куртки на 26 %.
Ответ. На 26 %.

ЕГЭ-2019
4. Восемь одинаковых рубашек дешевле куртки
на 2 %. На сколько процентов двенадцать таких же
рубашек дороже куртки?
Решение. Используя те же обозначения, получим верные равенства:
8r = 0,98k, 4r = 0,49k, 12r = 1,47k.
Значит, двенадцать рубашек дороже куртки на 47 %.
Ответ. На 47 %.

ЕГЭ-2017
5. Три килограмма черешни стоят столько же, сколько
пять килограммов вишни, а три килограмма вишни —
столько же, сколько два килограмма клубники.
На сколько процентов 1 кг клубники дешевле 1 кг черешни?
Решение. Выпишем в строчку одинаковые по стоимости массы ягод (см. табл.).

ЕГЭ-2017
5. Три килограмма черешни стоят столько же, сколько
пять килограммов вишни, а три килограмма вишни —
столько же, сколько два килограмма клубники.
На сколько процентов 1 кг клубники дешевле 1 кг черешни?
Решение. Выпишем в строчку одинаковые по стоимости массы ягод (см. табл.). 1 кг клубники стоит
столько же, сколько стоит 0,9 кг
черешни, то есть на 10 % дешевле,
чем 1 кг черешни.
Ответ. На 10 %.

ЕГЭ-2019
6. Брюки дороже рубашки на 30 % и дешевле
пиджака на 22 %. На сколько процентов рубашка
дешевле пиджака?
Решение. Пусть брюки стоят b, рубашка r, пиджак p
(в рублях). По условиям задачи составим равенства:
b = r + 0,3r = p – 0,22p,
откуда следует, что r = 0,6p = p – 0,4p.
Значит, рубашка дешевле пиджака на 40 %.
Ответ. На 40 %.

ЕГЭ прошлых лет

ЕГЭ прошлых лет

ЕГЭ прошлых лет

ЕГЭ прошлых лет

ЕГЭ прошлых лет

ЕГЭ прошлых лет

ЕГЭ прошлых лет
9. (2018) Семья состоит из мужа, жены и их дочери-студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась в 2 раза, то общий доход семьи вырос бы на 65 %. Если бы стипендия дочери уменьшилась в 2 раза, то общий доход семьи сократился бы
на 1 %. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Решение. Обозначим доходы в рублях мужа, жены и дочери m, g и d соответственно. По условиям задачи составим два равенства:
m = 0,65(m + g + d), (1)
0,5d = 0,01(m + g + d). (2)

ЕГЭ прошлых лет

Задачи для самостоятельного решения
10. (2019) Десять одинаковых рубашек дешевле
куртки на 4 %. На сколько процентов пятнадцать
таких же рубашек дороже куртки?
11. (2019) Девять одинаковых рубашек дешевле куртки на 7 %. На сколько процентов двенадцать таких же рубашек дороже куртки?
12. Брюки дороже рубашки на 20 % и дешевле пиджака на 46 %. На сколько процентов рубашка дешевле пиджака?

Задачи для самостоятельного решения
13. В понедельник цена акции увеличилась на
20 %, во вторник она увеличилась ещё на 30 %.
На сколько процентов за эти два дня увеличилась цена акции?
14. (2017) В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 49 % дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?