Дифференциальные уравнения высших порядков

Содержание

Слайд 2

Этими физическими свойствами зеркал и воспользовались великий Архимед и Маршал Жуков при

Этими физическими свойствами зеркал и воспользовались великий Архимед и Маршал Жуков при
ведении боевых действий

История гласит: в 121 году до н. э. римляне осадили с суши и моря греческий город Сиракузы (слайд 3). Руководить обороной города было решено поручить Архимеду.
Когда римский флот был уже не более чем в трехстах метрах от берега, началось светопреставление: паруса стали вспыхивать один за другим без всякой видимой причины, нестерпимо ослепительные лучи обрушились на окаменевших от ужаса воинов Клавдия Марцелла.
Атакующие обратились в паническое бегство, а со стен укреплений Архимед невозмутимо наблюдал за результатами своей работы

Слайд 3

Из книги Г. К. Жукова «Воспоминания и размышления»:
«Так родилась идея

Из книги Г. К. Жукова «Воспоминания и размышления»: «Так родилась идея ночной
ночной атаки с применением прожекторов .
Решено было обрушить наш удар за два часа до рассвета.
Сто сорок зенитных прожекторов должны были
внезапно осветить позиции противника и объекты атаки».

Слайд 4

Дифференциальные уравнения высших порядков. 1. Дифференциальные уравнения 2-го порядка.

Определение. Уравнения вида
называются дифференциальными

Дифференциальные уравнения высших порядков. 1. Дифференциальные уравнения 2-го порядка. Определение. Уравнения вида
уравнениями 2-го
порядка.
Дифференциальное уравнение, разрешенное относительно второй производной имеет вид
Пример. Последовательно интегрируя, получим


Слайд 5

Лемма.

Дифференциальное уравнение 2-го порядка
обычно имеет бесчисленное множество решений,
определяемых формулой

Лемма. Дифференциальное уравнение 2-го порядка обычно имеет бесчисленное множество решений, определяемых формулой
содержащей две произвольные постоянные.
Это множество решений называется общим решением.
Частные решения дифференциального уравнения определяются из начальных условий

Слайд 6

Пример.


Геометрический смысл начальных условий:
Помимо точки задаем угловой коэффициент касательной.


Пример. Геометрический смысл начальных условий: Помимо точки задаем угловой коэффициент касательной.



Слайд 7

Теорема о существовании и единственности решения.

Если функция и ее производные
непрерывны в

Теорема о существовании и единственности решения. Если функция и ее производные непрерывны
окрестности значений
то дифференциальное уравнение
в достаточно малом интервале
имеет единственное решение удовлетворяющее
заданным начальным условиям
Без доказательства.

Слайд 8


Из теоремы следует, что уравнение при
заданных начальных условиях
имеет единственное решение.

Из теоремы следует, что уравнение при заданных начальных условиях имеет единственное решение.
Если задать начальные условия при то теорема о существовании дать ответ не может, т.к. при правая часть имеет особенность.
Для дифференциального уравнения 2-го порядка часто задают граничные условия (краевые условия)
(сопромат (изгиб балки), математическая физика и т.д.).
В этом случае может быть одно решение, может решение не существовать и может быть бесконечное множество решений.
Это коренное отличие задания граничных условий от задания начальных условий.

Слайд 9

Пример.



Пример.

Слайд 10

2. Частные случаи дифференциальных уравнений 2-го порядка.
1) Правая часть не содержит и

2. Частные случаи дифференциальных уравнений 2-го порядка. 1) Правая часть не содержит и интегрируем дважды

интегрируем дважды

Слайд 11

2) Правая часть не содержит

Замена
Это дифференциальное уравнение 1-го порядка.
Пример.

2) Правая часть не содержит Замена Это дифференциальное уравнение 1-го порядка. Пример.




Слайд 12

3) Правая часть не содержит





Введем замену

Таким образом

3) Правая часть не содержит Введем замену Таким образом - дифференциальное уравнение
- дифференциальное уравнение 1-ого порядка, общим решением которого является функция
Заменяя , получаем

Слайд 14

Пример

Пример

Слайд 15

Пример 1.

Пример 1.

Слайд 16

Пример 2.

Найти частное решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям: хо= 0, уо=

Пример 2. Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям: хо= 0, уо= 0, у/о= 1.
0, у/о= 1.

Слайд 17

Пример 2.

Найти частное решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям: хо= 0, уо=

Пример 2. Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям: хо= 0, уо= 0, у/о= 1.
0, у/о= 1.

Слайд 18

Пример 2.

Найти частное решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям: хо= 0, уо=

Пример 2. Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям: хо= 0, уо= 0, у/о= 1.
0, у/о= 1.

Слайд 19

Пример 2.

Найти частное решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям: хо= 0, уо=

Пример 2. Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям: хо= 0, уо= 0, у/о= 1.
0, у/о= 1.

Слайд 21

Пример 3.

Найти общее решение ДУ2 : уу// - 2(у/)2=0.

Решение. Уравнение явно не

Пример 3. Найти общее решение ДУ2 : уу// - 2(у/)2=0. Решение. Уравнение явно не содержит х.
содержит х.

Слайд 22

Пример 3.

Найти общее решение ДУ2 : уу// - 2(у/)2=0.

Решение. Уравнение явно не

Пример 3. Найти общее решение ДУ2 : уу// - 2(у/)2=0. Решение. Уравнение явно не содержит х.
содержит х.

Слайд 23

Пример 3.

Решение. Уравнение явно не содержит х.

Найти общее решение ДУ2 : уу//

Пример 3. Решение. Уравнение явно не содержит х. Найти общее решение ДУ2 : уу// - 2(у/)2=0.
- 2(у/)2=0.