Решение уравнений в целых числах

ЦЕЛЬ
Сегодня мы познакомимся с решением диофантовых уравнений методом спуска и рассмотрим некоторые олимпиадные задачи, предлагаемые для подготовки к ЕГЭ в группе № 19..

МЕТОД СПУСКА
Метод спуска впервые был применен в VI веке Ариабхаттой. Метод
заключается в сведении данного уравнения к последовательности других
уравнений с убывающими по абсолютной величине коэффициентами перед
неизвестным.
Ариабха́та (или Арьябха́та, 476—550) — индийский астроном и математик. Его деятельность открывает «золотой век» индийской математики и астрономии.

РЕШИТЕ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ УРАВНЕНИЕ 5X − 7 Y = 3.
Решение. Выразим из уравнения то неизвестное, коэффициент при котором меньше по модулю: х = (3 + 7у)/5 = у + (3 + 2у)/5
Дробь (3 + 2у)/5 должна быть равна целому числу.
Положим с = (3 + 2у)/5, где с – целое число.
Тогда 2y + 3 = 5с. Из последнего уравнения выразим то
неизвестное, коэффициент при котором меньше по модулю, и проделаем аналогичные преобразования:
у = (5с – 3)/2 = 3с – (с + 3)/2
Дробь (с + 3)/2 должна быть целым числом.
Обозначим (с + 3)/2 = t, где t– целое число.
Отсюда с = 2t − 3. Последовательно возвращаемся к
неизвестным х и у:
y = 3(2t − 3) − t = 5t − 9,
x = y +с= 5t − 9 + 2t − 3 = 7t −12.
Ответ: x = 7t – 12, y = 5t – 9, где t – целое число

РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ 2X² − 5Y² = 7 В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ.
Решение. Так как 2x² - четное число, а 7 - нечетное, то
5y² должно быть нечетным, т.е. у –нечетное. Пусть
y = 2z +1, z Z , тогда данное уравнение можно
переписать в виде x² −10z² −10z = 6.
Отсюда видно, что х должно быть четным.
Пусть x = 2m, тогда последнее уравнение примет вид
2m² − 5z(z +1) = 3,
что невозможно, так как число z(z +1) - четно, а
разность двух четных чисел не может быть равна
нечетному числу. Таким образом, данное уравнение не
имеет решений в целых числах.
Ответ: нет решений

ЗАДАЧА
В старших классах школы учатся 200 учеников, которые изучают иностранные языки (каждый ученик изучает хотя бы один иностранный язык). Найдите количество учеников, которые изучают все иностранные языки в каждом из следующих случаев:
А) английский изучают 120 человек, немецкий – 97
Б) английский изучают 120 человек, немецкий – 97, французский – 85, и английский и немецкий – 46, и английский и французский – 42, и французский и немецкий – 40
В) английский изучают 90 человек, немецкий 80, французский 60. И для каждой пары языков найдется не более 10 человек, изучающих оба языка.

А) АНГЛИЙСКИЙ ИЗУЧАЮТ 120 ЧЕЛОВЕК, НЕМЕЦКИЙ – 97
Изобразим диаграмму, соответствующую условию
Решение
Если сложим 120+97, то количество человек, изучающих два языка, учтем дважды, тогда
120+97 – 200 = 17
Ответ 17

Б) АНГЛИЙСКИЙ ИЗУЧАЮТ 120 ЧЕЛОВЕК, НЕМЕЦКИЙ – 97, ФРАНЦУЗСКИЙ – 85, И АНГЛИЙСКИЙ И НЕМЕЦКИЙ – 46, И АНГЛИЙСКИЙ И ФРАНЦУЗСКИЙ – 42, И ФРАНЦУЗСКИЙ И НЕМЕЦКИЙ – 40
Решение
Изобразим диаграмму, соответствующую условию
Пусть х – число человек, изучающих три языка. Тогда
120 + 97 + 85 – 46- 40 -42 + x = 200,
x = 26.
Ответ 26

В) АНГЛИЙСКИЙ ИЗУЧАЮТ 90 ЧЕЛОВЕК, НЕМЕЦКИЙ 80, ФРАНЦУЗСКИЙ 60. И ДЛЯ КАЖДОЙ ПАРЫ ЯЗЫКОВ НАЙДЕТСЯ НЕ БОЛЕЕ 10 ЧЕЛОВЕК, ИЗУЧАЮЩИХ ОБА ЯЗЫКА.
Решение
Пусть и английский и немецкий изучают а человек,
и английский и французский изучают с человек,
и французский и немецкий изучают у человек,
все языки изучают х человек, тогда
200 = 90 + 80 + 60 –а – с- у +х
а + с+ у = 30 + x.
По условию а, с, у ≤10, тогда а + с + у – 30 ≤ 0.
Так как х число неотрицательное, то х = 0
Ответ 0

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Решите уравнение в целых числах 5х2 - 3у2 = 10
2. Решите уравнение в целых числах 4х2 - 2у2 = 13
3. В Мексике экологи добились принятия закона, по которому каждый автомобиль хотя бы один день в неделю не должен ездить (владелец сообщает полиции номер автомобиля и «выходной» день недели этого автомобиля). В некоторой семье все взрослые желают ездить ежедневно (каждый — по своим делам!). Сколько автомобилей (как минимум) должно быть в семье, если взрослых в ней а) 5 человек? б) 8 человек?
4. В старших классах школы учатся 300 учеников, которые изучают иностранные языки (каждый ученик изучает хотя бы один иностранный язык). Найдите количество учеников, которые изучают все иностранные языки в каждом из следующих случаев:
А) английский изучают 240 человек, немецкий – 84
Б) английский изучают 240 человек, немецкий – 84, французский – 63, и английский и немецкий – 57, и английский и французский – 24, и французский и немецкий – 40
В) английский изучают 120 человек, немецкий 60, французский 100. И для каждой пары языков найдется не более 20 человек, изучающих оба языка.