Слайд 154. Множество всех функций у = f (x), определенных и непрерывных на
отрезке [a, b], для которых обычными правилами математического анализа определены операции сложения таких функций и умножения их на число, является линейным пространством. Пусть f (x) и g (x) ⎯ функции, определенные и непрерывные на отрезке [a, b], тогда их сумма f (x) + g (x) = h (x) ⎯ определенная и непрерывная во всех точках отрезка [a, b] функция. Аналогично, при умножении функции на любое число получаем функцию, определенную и непрерывную на отрезке [a, b], т. е. принадлежащую рассматриваемому множеству. В качестве нулевого элемента в этом множестве берем функцию, имеющую значение нуль во всех точках отрезка [a, b], т. е. функцию у = 0 ⎯ часть оси Ох, а именно отрезок а ≤ х ≤ b. Противоположным элементом для функции f (x), будет функция −f (x). Остальные аксиомы будут выполняться в силу того, что все операции над функциями сводятся в каждой конкретной точке отрезка к операциям над числами, для которых эти аксиомы верны. Следовательно, совокупность функций, непрерывных на отрезке [a, b], с обычными операциями сложения функций и умножения функции на число является линейным пространством, которое называют пространством непрерывных функций на отрезке [a, b] и обозначают С[а, b].