Интеграл. Определенный интеграл. Свойства. Примеры. Применение определенного интеграла для нахождения длин, площадей и объемов

Что такое интеграл?
Интеграл – одно из важнейших понятий математического анализа, которое возникает при решении задач о нахождении площади под кривой, пройденного пути при неравномерном движении, массы неоднородного тела, и т.п., а также в задаче о восстановлении функции по её производной.

Определенный интеграл
Определенный интеграл от функции f (x) , непрерывной на отрезке [a,b], вычисляется по формуле:
где, F(x) – первообразная для функции f(x), т.е. F’ (x)=f (x).
Формула называется формулой Ньютона Лейбница.

1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования:
2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
Свойства определенного интеграла

4. Если функция y=f(x) интегрируема на [a,b] и a
5. (теорема о среднем). Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то
3. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула:
которая называется формулой Ньютона-Лейбница. Разность F(b) – F(a) принято записывать следующим образом:
где символ называется знаком двойной подстановки.
Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:
(2)
Формула Ньютона - Лейбница

Пример 1. вычислить интеграл
Решение. Для подынтегральной функции f(x)=x2 произвольная первообразная имеет вид
Так как в формуле Ньютона – Лейбница можно использовать любую первообразную, то для вычисления интеграла возьмем первообразную, имеющую наиболее простой вид:

Вычисление длин дуг с помощью определенного интеграла.
Если x=x(t), y=y(t), t∈[t1,t2] – параметрические уравнения гладкой кривой, то длина ее дуги равна
где x(t) и y(t) - производные функции x(t) и y(t) соответственно, по параметру t.
Существует аналогичная формула для длины дуги пространственной гладкой кривой.
x=x(t), y=y(t)z=z(t), t∈ [t1,t2] :

Пример. Вычислить
Область интегрирования – часть смещенного круга, ограниченная кривыми

Вычисление площади с помощью интеграла
Криволинейная трапеция – фигура, ограниченная отрезком [a,b] оси Ох, отрезками прямых x=a, x=b и графиком непрерывной на отрезке [a,b] функции y=f(x), где f(x)≥0 при x €[a,b].

Вычисление объема с помощью определенного интеграла
Если тело заключено между двумя перпендикулярными к оси Ox плоскостями, проходящими через точки x= a и x=b, то
Где S(x) – площадь сечения тела плоскостью, которая проходит через точку и перпендикулярна к оси Ox.
Пример. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox одной полуволны синусоиды y=sinx
Решение: Воспользуемся формулой для вычисления объема тела вращения получаем
далее вычисляется определенный интеграл: