Исследование модели многогранника с сечениями на примере куба

ПРОЕКТНАЯ РАБОТА
ПО СТЕРЕОМЕТРИИ
Вариант 22
Совместите три вида. Опишите этапы построения.
На полученной модели найдите суммарную площадь сечения, приняв сторону куба за a.
Найдите площадь поверхности всей модели.
Выполните развертку полученной детали при а = 6 см и развертку удаленной части.
Предложите два своих варианта сечений куба тремя различными плоскостями.
Рассчитайте углы между плоскостями сечений:
Используя построение плоскости, перпендикулярной линии пересечения плоскостей сечений
Используя теорему косинусов для трехгранного угла.
Поместив модель в систему координат, составьте уравнение плоскости для каждого из сечений.
Составьте уравнения прямых, получившихся в результате пересечения данных плоскостей.
Докажите, что все три прямые пересекаются в одной точке.
Рассчитайте углы между плоскостями сечений:
Используя метод координат
Сопоставьте результаты расчетов в п.п. 5а,б и 9а. Сделайте выводы.
Вычислите объемы исходных геометрических тел, приняв сторону куба за a.
«Разбив» построенную модель на простейшие геометрические тела найдите объем данной модели.
«Разбив» построенную модель на пирамиды, найдите объем модели, используя «Метод координат».
Сделайте вывод о преимуществах и недостатках применении методов п.п. 13 и 14 для данной модели.

Содержание
Построение изображения
Построение сечений
Построение развертки куба со сложным сечением
Построение изображения удаленной части
Построение развертки удаленной части
Вычисление площадей
Вычисление объемов
Вычисление углом между плоскостями
Задания по теме «Метод координат»
Уравнения плоскостей
Вычисление углов между плоскостям
Уравнения прямых
Варианты заданий
Тренировочные задания

Построение изображения

Построение изображения

Построение линий пересечения плоскостей
Пересечение плоскостей попарно
Построение изображения

Пересечение плоскостей попарно
Совмещение всех изображений
Построение изображения

Построение сечений

Построение развертки

Построение изображения удаленной части

Построение развертки удаленной части

S1
S3
S4
S5
S6
S1 = S2
E
KPM1~ M1P1C
KP = 2CP1
EM1=2/3PC
S2
S2=1/2a2 - S
KPM1
S1=S2=1/2a2 – 1/2·a·2/3a = 1/6a2
S3=S4=a2
S5 = a2 – 1/4a2 = 3/4a2
S6 = a2 – 1/2·1/2a·1/2a = 7/8a2
S1+S2+S3+S4+S5+S6 =
1/6a2+1/6a2+a2+a2+3/4a2+7/8a2
SΣ=323/24·a2
Площадь поверхности

D1K = KC1; DP = PC => (KP) || (C1C) =>
Δ KM1H ~ Δ M1P1C
KP = 2P1C => KM1 = 2 M1C = 2/3KC
KC2 = KP2 + PC2 => KC = (a2 + (a/2)2)1/2 = a√5/2
KC = a√5/2 KM1 = a√5/3
Рассмотрим сечение плоскостью ВКС.
[ВО) ∩ [СК) = М2
BK1|| CK; K1O = OK; / К1ОВ = / М2ОК =>
Δ К1ОВ = Δ М2ОК => М2К = К1В
К1М1 ∩ ВО = Т; Δ К1ТВ ~ Δ ТМ2М1;
К1В/М1М2 = КС/( КС + 2/3КС) = 3/5 =>
| Т; (К1В)| = 3/8ВС и | Т; (СК)| = 5/8ВС = 5/8a
SТОКМ1 = SΔТМ2М1 – SΔОМ2К
М2М1= 5/3КС = 5a√5/6;
SΔТМ2М1 = 1/2М2М1· | Т; (СК)| = 1/2·5a√5/6·5/8a = 25a2√5/96
SΔОМ2К = 1/2·ОК ·КМ2 = 1/2 ·1/2a ·a√5/2 = a2√5/8
SТОКМ1 = 25a2√5/96 - a2√5/8= 13a2√5/96
SMHOT = SТОКМ1= 13a2√5/96
Площади сечений

Рассмотрим сечение куба плоскостью (FPP1)
BD2 = BA2 + AD2 => BD = a√2
FP - средняя линяя Δ ADC; AD ∩ FP = G => BG = 3/4BD = 3a√2/4;
B1G1 = 1/4BD = a√2/4;
ΔG1OT ~ ΔBTG; G1O = BG/3; TG = 3TG1 = 3/4G1G
GG1 = (DD12+(D1B1/2)2)1/2 = a√6/2
[F1F) ∩ [P1P) = O1
ΔF1P1O1 ~ΔMM1O1; M1P1=1/2M1P=1/3P1P
O1P = PP1 => MM1:F1P1 = O1M1: O1P1=5:6
MM1= 5/6F1P1 = 5/6BD = 5a√2/6
O1T = 3/4GG1 + O1G = (3/4 + 1/2)GG1 = 5/4·a√6/2 = 5a√6/8
SMTM1PF = SMTM1 + SMM1PF = 1/2N1T·MM1 + 1/2·(MM1+ FP)·N1G =
= 1/2·(1/4+1/6)·G1G·MM1 + 1/2·(MM1+ FP)·1/3·G1G =
= 1/2·5/12· a√6/2·5a√2/6+1/2·(5a√2/6+ a√2/2)·1/3·a√6/2
SMTM1PF =47a2√3/144
На полученной модели найдите суммарную площадь сечений, приняв сторону куба за a.

Вычисление объема
Разбиение на многогранники

Вычисление объема
V1 = SAA1H·AB = 1/2·a·a/2·a = a3/4
V2 = 1/3·SOH1C1K·B1B = 1/3·a/2·a/2·a = a3/12
BC ┴ (KCC1) => V3 = 1/3· SKC1C·BC =
= 1/3 ·1/2 ·a ·a/2 ·a = a3/12
SA3BC3 = 1/2·BA3·BC3 = 1/2·3a/2·3a/2 = 9a2/8
HA3BC3 = |T; (ABC)| = 3a/4
SA3AF = SPCC3 = 1/2·AA3·AF = 1/2·a/2·a/2 = a2/8
HA3AF = |M; (ABC)| = a/3
VA3BC3 = 1/3·SA3BC3 ·HA3BC3 = 1/3·9a2/8·3a/4 = 9a3/32
VA3AF = 1/3·SA3AF ·HA3AF =1/3·a2/8·a/3 = a3/72
V4 = VA3BC3 –2·VA3AF = 9a3/32 – 2· a3/72 = 73a3/288
V = V1 + V2 + V3 + V4 = a3/4 + a3/12 + a3/12 + 73a3/288
V =193a3/288

Вычисление углов между плоскостями
Сечения 1-3
«Построение плоскости, перпендикулярной общему ребру»
K1B = H1B; K1O = H1O; OB – общая => ΔК1ОВ = ΔН1ОВ;
K1V┴ OB =>Н1V┴ OB => (К1VH1) ┴ OB => / К1VH1 = β ;
Cos β = (К1V2+ Н1V2 – K1H12)/(2·К1V· Н1V) K1V=Н1V
К1О ┴ (B1BA) => К1О ┴ K1B =>
К1V= К1О·K1B/OB = a/2· a√5/2/(( a/2)2+( a√5/2)2)1/2= a√30/12
Cos β = (2К1V2– K1H12)/(2·К1V2) = – 1/5
Угол между плоскостями лежит в диапазоне [0º; 90º] =>
Cos β = 1/5
«Трехгранный угол»
/ К1ОВ = α; / Н1ОВ = β; / К1ОH1=γ = 90º;
δ – угол при ребре ОВ
Cos γ = Cos α· Cos β + Sin α · Sin β · Cos δ
K1B = H1B; K1O = H1O; OB – общая =>
ΔК1ОВ = ΔН1ОВ => α = β; Cos γ = 0 =>
Cos δ = – ctg2α = – (К1О/К1B)2 = –(1/√5)2 = – 1/5 =>
Cos δ = 1/5

Составьте уравнение плоскости для каждого сечения
«Метод координат»
Сечение 1: А(k; 0; 0); B(0; 0; 0); H(k; k/2; k)
Ax + By + Cz + D = 0 (*): B: A·0 + B·0 + C·0 + D = 0 (1) => D = 0 =>(3)
A: Ak +B·0 + C·0 + D = 0 (2) => A = 0 =>(3)
H: Ak +Bk/2 + Ck + D = 0 (3) => C = – B/2 => (*)
By – B/2·z = 0 =>
2y – z = 0 => n1 (0; 2; -1)
Сечение 2: F(k; k/2; 0); P(k/2; k; 0); H1(0; k/2; k)
F: A·k + B·k/2 + C·0 + D = 0 (4)
P: A·k/2 + B·k + C·0 + D = 0 (5)
H1: A·0 + B·k/2 + C·k + D = 0 (6)
(4) – (5): A·k/2 – B·k/2 = 0 => A=B => (4) => 3B·k/2 = –D => B = –2D/(3k) =>(6; *) => –D/3 + C·k + D = 0 => C = –2D/(3k) => (*) =>
–2D/(3k)·x –2D/(3k)·y –2D/(3k)·z + D = 0 =>
2x + 2y + 2z – 3 = 0 => n2 (2; 2; 2)

Вычислите углы между плоскостями
«Метод координат»
n1 (0; 2; -1); n2 (2; 2; 2); n3 (2; 0; -1)
| n1| = | n3| = √(02 + 22 + 12) = √5 | n2| = √(22 + 22 + 22) = 2√3
α – угол между плоскостями 1-2; β – угол между плоскостями 1-3
γ – угол между плоскостями 2-3
Cos α = n1 · n2 = 0·2 + 2·2 – 1·2 = 1/√15 = Cos γ
| n1| ·| n2| √5· 2√3
Cos β = n1 · n3 = 0·2 + 2·0 – 1·(–1) = 1/5
| n1| ·| n3| √5· √5
α = γ = arccos(1/√15) β = arccos(1/5)

«Метод координат»
Составьте уравнения прямых, получившихся в результате пересечения плоскостей
Прямая МН1:
xM = k; yM = 1/3·AF = 1/3·1/2·k = k/6; zM = 2/3·1/2·k = k/3 => M(k; k/6; k/3)
H1(0; k/2; k) =>MH1(–k; k/3;2k/3)
Уравнение прямой: x – 0 = y – k/2 = z – k
–k k/3 2k/3
Прямая М1K1: K1(k/2; 0; k)
xM1 = k/6; yM1 = k; zM1 = k/3 => M1(k/6; k; k/3) => M1K1(k/3; –k; 2k/3)
Уравнение прямой: x – k/2 = y – 0 = z – k
k/3 – k 2k/3
Прямая ОВ:
О(k/2; k/2; k) ; B (0; 0; 0) BO(k/2; k/2; k)
Уравнение прямой: x – k/2 = y – k/2 = z –k
k/2 k/2 k

Варианты заданий

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Сечения куба различными плоскостями
Какие многоугольники получаются в результате сечения куба плоскостями?
Сколько на рисунке различных сечений?
Найдите одинаковые сечения.

Верно ли построены сечения? Ответ обоснуйте.
3
4
5
6
2
1
Сечения куба различными плоскостями

1
2
3
4
5
6
Сечения куба различными плоскостями
Равны ли площади сечений фигур 1 и 2?
Какая часть куба изображена на каждом из рисунков?
Можно ли утверждать, что на рис.4 изображен ромб? Квадрат? Почему?
Определите вид треугольника на рис.6
Может ли в результате сечения куба плоскостью получиться пятиугольник? Семиугольник?