Функция нескольких переменных. Общие свойства. Непрерывность функции. Линии уровня, поверхности уровня. (Семинар 21)

Определение 1
Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга переменных величин x,y из некоторой области их изменения D соответствует определенное значение величины z, то z есть функция двух независимых переменных x,y, определенных в области D.
Обозначение: z=f(x,y), z=F(x,y), и так далее.
Способы задания функции: аналитический, табличный, графический.
Определение 2
Совокупность пар (x,y) значений x,y, при которых определена функция z=f(x,y), называется областью определения или областью существования этой функции.
Пусть дана функция z=f(x,y), определенная в некоторой области G плоскости OXY. Рассмотрим некоторую определенную точку , лежащую в области G или на ее границе.
Определение 3
Число А называется пределом функции f(x,y) при стремлении точки M(x,y) к точке , если для каждого числа найдется такое число r>0, что для всех точек M(x,y), для которых выполняется неравенство имеет место неравенство

Определение 4
Пусть точка принадлежит области определения функции f(x,y). Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке , если имеет место равенство (1)
Причем точка M(x,y) стремится к точке произвольным образом, оставаясь в области определения функции.
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области.
Если в некоторой точке не выполняется условие (1), то точка называется точкой разрыва функции z=f(x,y). Условие (1) может не выполняться, например, в следующих случаях:
1) z=f(x,y) определена во всех точках некоторой окрестности точки , за исключением самой точки .
2) z=f(x,y) определена во всех точках окрестности точки , но не существует
3) z=f(x,y) определена во всех точках окрестности точки и существует , но
Определение 5
Линией уровня функции z=f(x,y) называется линия z=f(x,y)=с на плоскости OXY, в точках которой функция сохраняет постоянное значение z=c.

Определение 6
Поверхностью уровня функции u=f(x,y,z) называется поверхность u=f(x,y,z)=с плоскости, в точках которой функция сохраняет постоянное значение u=c.
Примеры с решениями
1. Найти область определения функции .
Решение.
Функция принимает действительные значения при условии или
, т. е. областью определения данной функции является круг радиуса а с центром в начале координат, включая граничную окружность.
2. Найти область определения функции .
Решение.
Функция определена, если Областью определения функции является плоскости, заключенная между двумя параболами
, за исключением точки О(0,0).
3. Найти область определения функции .
Решение.
Данная функция зависит от трех переменных и принимает действительные значения при , т. е. область определения – часть пространства, заключенная внутри полостей двуполостного гиперболоида.