Определители второго и третьего порядка

Определитель (или детерминант) – это число, связанное с квадратной матрицей А, обозначение:
или det A.
Если матрица записана в прямых чертах, то это обозначает определитель матрицы.

Определитель 2-го порядка:
det A=
Определитель 3-го порядка:
,
det A=

Способы вычисления определителя третьего порядка

Свойства определителей.
При перемене местами любых двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.
При умножении всех элементов любой строки (столбца) на некоторое число, определитель умножается на это число.

Если любую строку (столбец) определителя разбить в сумму двух строк (столбцов), то определитель можно представить как сумму соответствующих определителей:

Определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца) равен нулю.
Определитель, содержащий строку (строчку) из нулей, равен нулю.
К любой строке определителя можно прибавить любую другую строку, умноженную на любое число. Определитель при этом не меняется.
Транспонирование не меняет определителя:

Опр: Минор Мij элемента аij называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки под номером i и столбца под номером j, т.е. той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент аij. Минор Мij есть определитель порядка на единицу ниже исходного.

Опр. Алгебраическое дополнение Аij - это минор Мij , умноженный на (-1)i+j,
Аij = (-1)i+j Mij
Алгебраическое дополнение Аij элемента аij либо совпадает с его минором (если i+j – четное число), либо противоположно ему (если i+j – нечетное число).

Теорема Лапласа: Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на соответствующее алгебраическое дополнение этих элементов.
= а11·А11 +а12·А12+а13·А13;
правая часть равенства называется разложением определителя по элементам первой строки.

Обратная матрица

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка А
Опр. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю. В противном случае матрица называется вырожденной.
Опр. Обратной матрицей для матрицы А называется такая матрица А -1 , произведение которой слева и справа на матрицу А дает единичную матрицу того же порядка.
А -1А = АА -1 = Е