Исследование операций. Принятие решений и неопределенность. Лекция 3

Если бы губы Никанора Ивановича
да приставить к носу Ивана Кузьмича,
да взять сколько-нибудь развязности, какая у Балтазара Балтазарыча,
да, пожалуй, прибавить к этому еще дородности Ивана Павловича –
я бы тогда тотчас же решилась.
Н. В. Гоголь
Исследование операций
Принятие решений и неопределенность

Исследование операций
Рассмотрим следующие примеры.
Компания может перевозить свою продукцию из пункта производства в пункт потребления
речным, железнодорожным и автомобильным транспортом. Затраты на перевозку единицы
продукции соответственно равны C1 < C2 < C3 .
Время перевозки единицы продукции, в зависимости от вида транспорта равно t1 > t2 > t3 .
Компания должна перевезти A единиц продукции. Естественно желание компании
осуществить перевозку с наименьшими транспортными расходами. Продукция компании
является скоропортящейся, поэтому время перевозки должно быть минимально.
Введем переменные X1, X2, X3, означающие количество продукции перевозимой речным,
железнодорожным и автомобильным транспортом соответственно. Получим ограничения:
X1 + X2 + X3 = A ,
Xi ≥ 0 , i = 1,2,3.
И две целевые функции:
C1 X1 + C2 X2 + C3 X3 → min ,
t1 X1 + t2 X2 + t3 X3 → min .
Принятие решений и неопределенность

Дуополия Курно.
Две фирмы выпускают однородный товар и продают его на рынке.
Цена, складывающаяся на рынке, линейно убывает с ростом суммарного предложения: p(u)=a–b(u1+u2),
где: a - первоначальная цена товара при появлении его на рынке, b – коэффициент
убывания цены, u1 и u2 объемы выпуска продукции первой и второй фирмой
соответственно (по своему смыслу величины u1 и u2 неотрицательны).
Пусть затраты первой и второй фирм на выпуск единицы продукции равны c1 и c2.
Цель каждой фирмы состоят в максимизации своей прибыли.
Получим две целевые функции
g1(u1,u2)= p(u)u1–c1u1 → max ,
g2(u1,u2)= p(u)u2–c2u2 → max .
Ограничения
u1 + u2 ≤ d , d – объем, выше которого производство становится нерентабельным,
u1 ≥ 0, u2 ≥ 0.
Принятие решений и неопределенность
Исследование операций

Исследование операций
Неопределенность целей. Многокритериальные задачи.
В задачах этого типа присутствуют ограничения (обычные системы уравнений или
неравенств), которым должны подчиняться переменные и несколько
критериев, например, n:
Это и есть неопределенность цели. Для решения таких задач необходимо привлекать
дополнительные гипотезы.
Существует два основных подхода к решению такого класса задач:
сведение к стандартным задачам с одними критерием;
cужение неопределенности.
Принятие решений и неопределенность

Исследование операций
I. Сведение к стандартной задаче с одним критерием.
Линейная свертка. Если все критерии измеряются в одной шкале, то строят
обобщенный критерий вида:
где – веса соответствующих критериев.
Как правило, веса подбираются экспериментально, они отражают представление
оперирующей стороны о содержании выбранного компромисса.
Таким образом, содержание компромисса состоит в ранжировании целей весами –
дополнительная гипотеза, с помощью которой происходит сведение к задаче с одним
критерием.
Принятие решений и неопределенность

Исследование операций
Сведение к стандартной задаче с одним критерием.
2) Использование контрольных показателей.
Пусть задана система контрольных нормативных показателей
относительно которых критерии должны удовлетворять условию:
а) В некоторых случаях целевую функцию удобно представлять в виде
и решать задачу
б) Предположим, что среди функций , выделен основной критерий, например, .
Тогда снова приходим к однокритериальной задаче:
при условии
Принятие решений и неопределенность

Сведение к стандартной задаче с одним критерием.
3) Ранжирование критериев. Критерии ранжируются по степени важности.
Пусть ранжированный ряд имеет вид
Решаем последовательно n задач:
Здесь Ω0 – множество допустимых решений исходной задачи, формируемое её
ограничениями, Ω1 - множество оптимальных решений первой задачи, Ωn-1 – множество
оптимальных решений n – 1 задачи. Множество Ωn – множество решений n-ой задачи
является искомым.
Исследование операций

Исследование операций
Сведение к стандартной задаче с одним критерием.
4) Введение метрики в пространстве целевых функций.
Предположим мы решили систему однокритериальных задач:
В каждой i-ой задаче нашли вектор – доставляющий максимум критерию
Совокупность скалярных величин в пространстве критериев определяет
некоторую точку, называемую "абсолютным максимумом".
Если все различны , то точка недостижима в пространстве
критериев.
Введем положительно определенную матрицу
Тогда скалярная величина:
определяет некоторое расстояние от точки соответствующей вектору х до точки "абсолютного
максимума". Частный случай, когда R – единичная матрица, то - Евклидово расстояние.
В качестве критерия можно выбрать:
Принятие решений и неопределенность

Исследование операций
Исаченко А.Н. Лекция 2
Принятие решений и неопределенность
II. Сужение неопределенности. Компромиссы Парето.
Другой подход к решению многокритериальных задач заключается в попытке сократить множество исходных вариантов, т.е. исключить из неформального анализа те варианты решений, которые являются заведомо плохими. Этот подход используется в случае равнозначности критериев.
Предположим, что сделан некоторый выбор , и существует другой выбор такой, что для всех критериев имеет место неравенство:
причем хотя бы одно из неравенств – строгое. Очевидно, что выбор предпочтительнее
выбора .
Вектор называется не улучшаемым вектором результатов (вектором Парето,
эффективным вектором), если из
соотношений
следует, что ,
Множество всех векторов Парето называют множеством Парето.
Принцип Парето: в качестве решения следует выбирать только тот вектор х, который
принадлежит множеству Парето.

Рассмотрим пример. Фирма по разработке программного обеспечения должна выполнить
два проекта 1 и 2 в порядке 1,2. Для выполнения каждого из проектов фирма может
привлекать одного, двух или трёх программистов. Пусть X1 число программистов,
привлекаемых для выполнения первого, X2 – второго проектов. Время выполнения проекта
i равно ti(Xi), i=1,2. Стоимости работ по проектам равны Ci(Xi), i=1,2. Требуется
минимизировать общее время выполнения проектов и стоимость их выполнения.
Общая стоимость их выполнения f1(X1,X2) = С1(X1)+С2(X2) , а время выполнения проектов
равно f2(X1,X2) = t1(X1)+t2(X2). Получим задачу
f1(X1,X2) → min , f2(X1,X2) → min
X1, X2 {1,2}.
Пусть значения функций заданы в таблице:
Определим все возможные значения пар (f1,f2) .
(f1,f2) {(5,5), (5,3), (6,4), (6,2), (6,3), (7,4), (8,2), (7,2)}.
Исследование операций
Принятие решений и неопределенность