Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, содержащее производные от искомой функции или её дифференциалы.
или

Примеры ДУ:

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком ДУ.
Решением ДУ называется такая функция, подстановка которой в уравнение обращает его в тождество (верное равенство).
- решение ДУ

Пример: Показать, что данная функция
является решением ДУ
Т.о. функции вида являются решениями данного ДУ при любом выборе постоянных С1 и С2:

Дифференциальные уравнения
I порядка

Общим решением ДУ I порядка называется функция , которая зависит от одного произвольного постоянного С.
или
или
(неявный вид)
ДУ I порядка имеет вид

Частным решением ДУ I порядка называется любая функция полученная из общего решения при конкретном значении постоянной С=С0.
или
(неявный вид)

Пример: ДУ:
-общее решение
частные решения

Геометрически:
Общее решение ДУ есть семейство интегральных кривых на плоскости Оху;
Частное решение ДУ -одна кривая этого семейства, проходящая через точку
-общее решение
х
у
-частное решение
(х0, у0)

Задача отыскания конкретного частного решения данного ДУ по начальным данным называется задачей Коши (Cauchy).
или
Условие при х=х0, такое что функция у равна заданному числу у0 называется начальным условием.

Пример: Решить задачу Коши:
-общее решение
Подставим в общее решение начальные условия:
-частное решение
х
у

1. ДУ I порядка с разделёнными переменными
Если каждая часть ДУ представляет собой произведение некоторого выражения, зависящего от одной переменной, на дифференциал этой переменной, то говорят, что переменные в этом уравнении разделены.
В этом случае уравнение достаточно проинтегрировать:

Пример: Решить ДУ
С
общее решение:
или
Геометрически: получили семейство концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусом С.
С
х
у
0

2. ДУ I порядка с разделяющимися переменными
Уравнения, в которых переменные разделяются, называются ДУ с разделяющимися переменными.
где
некоторые функции.

Пример: Найти общее и частное решение ДУ
⇒

Итак, общее решение ДУ:
2) Найдём частное решение ДУ, если
Подставим эти начальные условия в общее решение ДУ и найдем С:
- частное решение ДУ.
⇒
Ответ: общее решение
частное решение

Геометрически:
х
у
общее решение
частное решение
у = 2х
(5;10)

Пример: Решить задачу Коши