Клавдий Птолемей 90-168 гг

Теорема Птолемея
Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.
Докажем, что АС∙BD=AB∙CD+BC∙AD

Доказательство
Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность.

Выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE. треугольник ABD подобен треугольнику BCE. У этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция: откуда вытекает равенство:BC∙AD=EC∙BD(1)

Треугольник ABE подобен треугольнику BCD. У этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция: откуда вытекает равенство:
AB∙CD=AE∙BD(2)
.