Корень n - ой степени

Корень n-ой степени.
Ребята, мы продолжаем изучать корни n-ой степени из действительного числа. Как и практически все математические объекты корни n-ой степени обладают некоторыми свойствами, сегодня мы и займемся изучением этих свойств.
Все свойства, которые мы с вами рассмотрим, формулируются и доказываются только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаком корня.
Однако заметим, в случае нечетного показателя корня они выполняются и для отрицательных переменных.

Корень n-ой степени.
Теорема1.
Корень n-ой степени из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней n-ой степени этих чисел:

Корень n-ой степени.
Теорема2.
Если а≥0, b>0 и n – натуральное число, большее одного тогда выполняется следующее равенство:
То есть корень n-ой степени частного равен частному корней n-ой степени.

Корень n-ой степени.
Пример. Вычислить
Решение. Воспользуемся теоремой 1
Пример. Вычислить
Решение. Представим подкоренное выражение в виде неправильной дроби:
Воспользуемся теоремой 2:

Корень n-ой степени.
Пример. Вычислить
а)
б)
Решение.
а)
б)

Корень n-ой степени.
Теорема3.
Если a≥0, k – натуральное число и n – натуральное число, больше 1, то справедливо равенство:
Чтобы возвести корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.

Корень n-ой степени.
Теорема4.
Если a≥0, n,k – натуральные числа, большие одного, то справедливо равенство:
Чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней.
Пример.

Корень n-ой степени.
Теорема 5.
Если показатели корня и подкоренного выражения умножить на одно и тоже натуральное число, то значение корня не изменится:

Корень n-ой степени.
Примеры:
Пример. Выполнить действия:
Решение.
Показатели корней разные числа, поэтому мы не можем воспользоваться теоремой1, но воспользовавшись теоремой5 мы можем получить равные показатели.