Доверительный интервал косвенных измерений

Содержание

Слайд 2

Косвенное измерение – определение искомого значения физической величины на основании результатов прямых

Косвенное измерение – определение искомого значения физической величины на основании результатов прямых
измерений других физических величин, функционально связанных с искомой величиной.
При косвенных измерениях искомое значение величины Q рассчитывают на основании известной функциональной зависимости этой величиной от величин, подвергаемых прямым измерениям.
Q = F (X, Y, …, Z),
где X, Y,…, Z – результаты прямых измерений соответствующих величин.
Принципиальной особенностью косвенных измерений является обработка (преобразование) результатов вне прибора (вручную или автоматически с помощью компьютера). Характерным признаком косвенных измерений является процедура выбора косвенной зависимости Q = F (X, Y, …, Z). Имеется в виду подтверждение степени адекватности принятой идеализированной модели связи величин фактическим значениям искомой величины.

Слайд 3

Примерами косвенных измерений можно рассматривать:
определение площади сечения S арматурного стержня круглого

Примерами косвенных измерений можно рассматривать: определение площади сечения S арматурного стержня круглого
сечения (см. рис.) по данным измерения его диаметра: искомая величина – площадь сечения S , косвенный параметр – диаметр d. В данном случае мы имеем однопараметровые косвенные измерения

определение площади помещения S по данным измерения его длины a и ширины b
S = a · b .
в этом случае мы имеем многопараметровые косвенные измерения (два параметра – а и b)

В общем случае ситуацию с косвенными измерениями можно формализовать следующим образом
y = F(x, z,…,q) , где y – искомая величина, x, z,…,q – косвенные величины (параметры)
Независимо от числа параметров, результат должен быть представлен доверительным интервалом по стандартной форме
y = y0 ± Δy
где y0 – точечная оценка, Δy – полуширина доверительного интервала

Слайд 4

Алгоритм расчета доверительного интервала косвенных измерений базируется на алгоритме расчета доверительного интервала

Алгоритм расчета доверительного интервала косвенных измерений базируется на алгоритме расчета доверительного интервала
прямых измерений косвенных параметров.

I . Однопараметровые косвенные измерения

Дано: y = F(x); x = x0 ± Δx

y0 = F(x0)

Точные (универсальные) зависимости +Δy = F(x0+Δx) - F(x0)

-Δy = F(x0-Δx) - F(x0)

Приближенная зависимость Δy ≈ Δx · dF(x)/dx; x = x0

Слайд 5

Разница результатов расчета доверительного интервала Δy по точной и приближенной зависимостям зависит

Разница результатов расчета доверительного интервала Δy по точной и приближенной зависимостям зависит
от степени «кривизны» функциональной зависимости и от ширины доверительного интервала для x - ±Δx. В подавляющем большинстве практических случаев, и учитывая необходимость округления доверительного интервала, разницу расчетных значений доверительного интервала по точной формуле и по приближенной можно не принимать во внимание.

!

Приближенная формула особенно удобна в случаях, когда связь между y и x выражается степенной функцией, то есть В этом случае

Воспользуемся представлением доверительного интервала в относительных показателях


Слайд 6

В этом случае можно записать

!

Относительная погрешность искомой величины y будет в B

В этом случае можно записать ! Относительная погрешность искомой величины y будет
раз больше относительной погрешности косвенной величины x

Например, требуется определить доверительный интервал оценки объема V шара, если величина его диаметра 1). D = 15±1 см . 2). D = 15,0±0,1 см .

Расчет точечной оценки объема шара V0. Исходя из формулы объема шара можем записать:

Вариант решения 1. Используем точную формулу расчета ΔV. Исходя из формулы объема шара можем записать:

D = 15±1 см

Слайд 7

Для D = 15,0±0,1 см получим следующие значения ΔV:

D =

Для D = 15,0±0,1 см получим следующие значения ΔV: D = 15,0±0,1
15,0±0,1 см

Вариант решения 2. Используем приближенную формулу расчета ΔV, учитывая, что связь объема и диаметра выражается степенной функцией

D = 15±1 см

Для D = 15,0±0,1 см получим следующие значения ΔV:

D = 15,0±0,1 см

Слайд 8

II . Многопараметровые косвенные измерения

.Требуется записать выражение для доверительного интервала Y в

II . Многопараметровые косвенные измерения .Требуется записать выражение для доверительного интервала Y
стандартном виде:
Y = y0 ± Δy (1)

Дано: Известен доверительный интервал для величин X, Z, Q,…,S записанный в стандартном виде:
X = x0 ± Δx ;
Z = z0 ± Δz ;
Q = q0 ± Δq ;

S = s0 ± Δs ;
известна функциональная зависимость

.

Порядок расчета следующий:
Рассчитывается точечная оценка y0 результата косвенных измерений
величины Y путем подстановки в выражение (1) для косвенной величины Y
точечные оценки результатов измерения аргументов, то есть
y0 = F (x0, z0, q0, …,s0), (2)

Слайд 9

2. Рассчитываются составляющие доверительного интервала по каждому параметру
Границы доверительного интервала для Y

2. Рассчитываются составляющие доверительного интервала по каждому параметру Границы доверительного интервала для
можно определить из выражений:
Δyx = |F [(x0 + Δx), z0, q0, …,s0] - y0|
Δyz = |F [x0, (z0+ Δz), q0, …,s0] - y0| (3)
Δyq = |F [x0, z0, (q0+ Δq), …,s0] - y0|
...
Δys = |F [x0, z0, q0, …,(s0+ Δs)] - y0|

.Каждая составляющая погрешности расчитывается так же, как погрешность однопараметровых косвенных измерений, рассматривая F поочередно, как функцию одного параметра: x, затем z, q, и s.

3.Составляющие дов.интервала объединяются геометрическим
суммированием, то есть

(4)

Слайд 10

Расчет абсолютной погрешности (дов.интервала) можно выполнить и через
относительные показатели, т.е., если

Расчет абсолютной погрешности (дов.интервала) можно выполнить и через относительные показатели, т.е., если

то
δyx =  B·δx; δyz =  C·δz; δyq =  D·δq 
δys =  N·δs ;

(5)

Слайд 11

Расчетная формула
S = a· b
результат следует записать по форме:
S

Расчетная формула S = a· b результат следует записать по форме: S
= S0 ± ΔS

погрешность площади будет иметь две составляющие ΔSa и ΔSb , которые объединяются геометрическим суммированием

Пример 2. Рассчитать площадь сечения колонны по известным значениям
линейных размеров сечения
a = 253,429 ± 2,145 мм после округления a = 253,4 ± 2,1 мм
b = 248,333 ± 2,039 мм b = 248,3 ± 2,0 мм

±ΔSa = (a0 ± Δa)·b – S0  = ±Δa·b = 2,145 · 248,33 = 532,68
±ΔSb = (b0 ± Δb)·a – S0  = ±Δb·a = 2,039 · 253,43 = 516,74

S0 = a0· b0 = 253,43 · 248,33 =62934,3

Слайд 12

Объединяем составляющие

Записываем результат S = 62934,3 ± 742,1

После округления S = 62900

Объединяем составляющие Записываем результат S = 62934,3 ± 742,1 После округления S
± 700 или S = 62950 ± 750

Вариант расчета 2. Поскольку функциональная зависимость для площади является степенной функцией, то для расчета составляющих общей погрешности можно воспользоваться формулами для относительных погрешностей

После округления S = 62900 ± 700 или S = 62950 ± 750

Слайд 13

Пример 3.5 . Рассчитать доверительный интервал (относительную погрешность) оценки объема помещения,
если

Пример 3.5 . Рассчитать доверительный интервал (относительную погрешность) оценки объема помещения, если
относительная погрешности оценки его высоты δh = 2% , а относительные погрешности длины a и ширины b равны δa = δb = 1%.
Решение. Выражение для объема помещения V представляет собой степенную функцию трех параметров – длины, ширины и высоты

поэтому расчет относительной погрешности объема выполним по формуле

.Подставляя значения относительных погрешностей линейных размеров, получаем относительную погрешность объема

Рассчитаем погрешность объема «по частям», сначала определим дов.интервал площади основания S
,
затем определим дов. интервал объема

Слайд 14

Подставляя известные значения относительных погрешностей, получаем относительную погрешность высоты

Частная погрешность - δh

Подставляя известные значения относительных погрешностей, получаем относительную погрешность высоты Частная погрешность -
превосходит погрешность объема (2,5%) и не согласуется с данными примера 3.5 , где относительная погрешность высоты δh ≈ 2% !

Результат неверный !!!

Для верного решения необходимо воспользоваться формулой, в которой нет необходимости учитывать корреляцию