Производная функции. Лекция 2

Содержание

Слайд 2

Определение производной

Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале (a; b).

Аргументу

Определение производной Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале (a;
x придадим некоторое приращение :

х

f(x )

x+Δx

f(x+ Δx )

Найдем соответствующее приращение функции:

Если существует предел

то его называют производной функции y = f(x) и обозначают одним из символов:

Слайд 3

Определение производной

Итак, по определению:

Функция y = f(x) , имеющая производную в каждой

Определение производной Итак, по определению: Функция y = f(x) , имеющая производную
точке интервала (a; b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Значение производно функции y = f(x) в точке x0 обозначается одним из символов:

Если функция y = f(x) описывает какой – либо физический процесс, то f ’(x) есть скорость протекания этого процесса – физический смысл производной.

Слайд 4

Геометрический смысл производной

Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М1:

х

f(x

Геометрический смысл производной Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и
)

x+Δx

М

М1

f(x+ Δx )

Через точки М и М1 проведем секущую и обозначим через φ угол наклона секущей.

Слайд 5

Геометрический смысл производной

Производная f ’(x) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции

Геометрический смысл производной Производная f ’(x) равна угловому коэффициенту касательной к графику
y = f(x) в точке, абсцисса которой равна x.

Если точка касания М имеет координаты (x0; y0 ), угловой коэффициент касательной есть k = f ’(x0 ).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Уравнение касательной

Слайд 6

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Если функция f(x) дифференцируема в некоторой точке

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции Если функция f(x) дифференцируема в некоторой
, то она непрерывна в ней.

Теорема

 

Обратное утверждение не верно: непрерывная функция может не иметь производной.

Слайд 7

Таблица производных

Таблица производных

Слайд 8

Правила дифференцирования

Пусть u(x) , v(x) и w(x) – дифференцируемые в некотором интервале

Правила дифференцирования Пусть u(x) , v(x) и w(x) – дифференцируемые в некотором
(a; b) функции, С – постоянная.

Слайд 9

Производная сложной функции

Пусть y = f(u) и u = φ(x) , тогда

Производная сложной функции Пусть y = f(u) и u = φ(x) ,
y = f(φ(x)) – сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.

Теорема

Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько:

Слайд 10

Пример.

Вычислить производную функции

Пример. Вычислить производную функции

Слайд 11

Пример.

Вычислить производную функции

Данную функцию можно представить следующим образом:

Коротко:

Пример. Вычислить производную функции Данную функцию можно представить следующим образом: Коротко:

Слайд 12

Производные высших порядков

Итак:

Производной n – ого порядка (или n – ой производной)

Производные высших порядков Итак: Производной n – ого порядка (или n –
называется производная от производной n -1 - ого порядка.

Производная от производной второго порядка, если она существует называется производной третьего порядка и обозначается:

Итак:

Слайд 13

Производные высших порядков

- производная пятого порядка.

Начиная от производной 4 порядка , производные

Производные высших порядков - производная пятого порядка. Начиная от производной 4 порядка
обозначаются римскими цифрами или цифрами в скобках:

Вычислить производную n – ого порядка от функции:

Слайд 14

Производные от функций, заданных параметрически

Производная первого порядка от этой функции находится по

Производные от функций, заданных параметрически Производная первого порядка от этой функции находится
формуле:

Пусть функция y = f(x) задана параметрически уравнениями:

Найдем производную второго порядка:

Аналогично получаем:

и т. д.

Слайд 15

Производные от функций, заданных параметрически

Вычислить производную 3 – ого порядка от функции:

Производные от функций, заданных параметрически Вычислить производную 3 – ого порядка от функции:

Слайд 16

Дифференциал функции

Пусть функция y = f(x) имеет в некоторой точке х отличную

Дифференциал функции Пусть функция y = f(x) имеет в некоторой точке х
от нуля производную, следовательно существует предел:

где

при

По теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции

Слайд 17

Дифференциал функции

Дифференциалом функции y = f(x) в точке х называется главная часть

Дифференциал функции Дифференциалом функции y = f(x) в точке х называется главная
ее приращения:

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной

Дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал независимой переменной

Можно доказать, что

Слайд 18

Геометрический смысл дифференциала

Проведем к графику функции y = f(x) в точке М(x,

Геометрический смысл дифференциала Проведем к графику функции y = f(x) в точке
y) касательную

х

f(x )

x+Δx

М

М1

f(x+ Δx )

Рассмотрим ординату касательной для точки x+Δx.

Согласно геометрическому смыслу производной,

B

A

Из прямоугольного треугольника AВМ имеем:

Дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x получает приращение Δx.

Слайд 19

Приложение дифференциала в приближенных вычислениях

Как известно, приращение функции можно представить в виде:

Приложение дифференциала в приближенных вычислениях Как известно, приращение функции можно представить в

Это равенство позволяет с большой точностью вычислять приращение любой дифференцируемой функции.

Формула позволяет приближенно вычислять значение функции в точке x0+Δx, зная значение функции в точке x0.

Слайд 20

Приложение дифференциала в приближенных вычислениях

Вычислить приближенно:

Рассмотрим функцию:

Так как

то

Приложение дифференциала в приближенных вычислениях Вычислить приближенно: Рассмотрим функцию: Так как то

Слайд 21

Исследование функций с помощью производной и построение графиков функций

Схема
1. Найти о.о.ф.
2. Найти

Исследование функций с помощью производной и построение графиков функций Схема 1. Найти
(если возможно) точки пересечения графика с осями координат
3. Найти промежутки знакопостоянства функции
4. Исследовать на четность
5. Найти асимптоты графика функции
6. Найти промежутки монотонности, точки экстремума функции
7. Найти промежутки выпуклости, точки перегиба графика функции
8. Построить график функции

Слайд 22

1. Монотонность функции

Функция y=f(x) возрастает (убывает), если большему значению аргумента соответствует большее

1. Монотонность функции Функция y=f(x) возрастает (убывает), если большему значению аргумента соответствует
(меньшее) значение функции

Теорема (достаточное условие): Если производная на промежутке (a,b) положительная (отрицательная), то функция y=f(x) на данном промежутке возрастает (убывает).

y=f(x)

Слайд 23

Точки экстремума

 

 

 

 

Точки экстремума

Слайд 24

2. Выпуклость функции

График функции y=f(x) называется выпуклым (вогнутым) на промежутке (a,b), если

2. Выпуклость функции График функции y=f(x) называется выпуклым (вогнутым) на промежутке (a,b),
он расположен ниже (выше) любой ее касательной на этом интервале.

y=f(x)

ТЕОРЕМА (дост.условие): Если функция y=f(x) на некотором промежутке имеет отрицательную (положительную) вторую производную, то график – выпуклый (вогнутый) на этом промежутке.

Слайд 25

Точки перегиба

P1

Опр. Точка графика непрерывной функции, отделяющая его части разной выпуклости, называется

Точки перегиба P1 Опр. Точка графика непрерывной функции, отделяющая его части разной
точкой перегиба .

y=f(x)

 

Слайд 26

Асимптоты графика функции

Опр. Прямая называется асимптотой графика функции, если расстояние от точек

Асимптоты графика функции Опр. Прямая называется асимптотой графика функции, если расстояние от
графика до этой прямой стремится к 0 при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
Асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклонными.

Опр. Прямая x=a называется вертикальной асимптотой для y=f(x), если

или

Имя файла: Производная-функции.-Лекция-2.pptx
Количество просмотров: 42
Количество скачиваний: 0