ЛЕКЦИЯ_7

п.1. Окружность.
Окружность есть геометрическое множество точек на плоскости,
Окружность есть геометрическое множество точек на плоскости, равноудаленных от данной точки.

Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат
?

Уравнение окружности радиуса R с центром в точке
?

п.2. Эллипс.
Эллипс есть геометрическое место точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению

Свойства эллипса
1.Симметрия относительно осей координат и начала координат.
2.
3. I-я четверть:
x
y
a
b

Вершины эллипса:
Центр эллипса:
Большая ось :
Малая ось :
Большая полуось :
Малая полуось :
Фокусы эллипса:

Теорема 1. Точка M плоскости принадлежит эллипсу тогда и только тогда,
Теорема 1. Точка M плоскости принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда сумма расстояний от фокусов F1 и F2 до точки M равна 2a.

x
y
O

Доказательство.
Необходимость.
Пусть точка лежит на эллипсе.
Покажем, что

Самостоятельно

Достаточность.
Пусть
Покажем, что точка лежит на эллипсе.

Теорема доказана.

─ эксцентриситет эллипса

Уравнение эллипса с центром в точке
O

п.3. Гипербола.
Гипербола есть геометрическое место
точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

x
y
O
Оси гиперболы:
действительная,
мнимая.

x
y
O
Вершины гиперболы:

x
y
O
Центр гиперболы:

x
y
O
Фокусы гиперболы:

x
y
O
Асимптоты гиперболы:

x
y
O
Полуоси гиперболы:

Теорема 2. Точка M плоскости принадлежит гиперболе тогда и только тогда,
Теорема 2. Точка M плоскости принадлежит гиперболе тогда и только тогда, когда абсолютная величина разности расстояний от фокусов F1 и F2 до точки M равна 2a.
x
y
O
Доказательство самостоятельно.

Свойства гиперболы
1. Симметрия относительно осей координат и начала координат.
2. Не пересекает ось Oy.
3.
4.
5.
─ равнобочная гипербола.
6. График гиперболы насколько угодно близко приближается к асимптотам.

─ эксцентриситет гиперболы

Уравнение гиперболы с центром в точке
O

─ сопряженная гипербола

п.4. Парабола.
Парабола есть геометрическое место
точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

Ось параболы:
Ось параболы: Ox.
Вершина параболы:
Фокус:
Директриса:
Расстояние от фокуса до директрисы:

Теорема 3. Точка M плоскости принадлежит параболе тогда и только тогда,
Теорема 3. Точка M плоскости принадлежит параболе тогда и только тогда, когда эта точка равноудалена от фокуса F и директрисы L.

Доказательство самостоятельно.
x
y
O

Свойства параболы
1. Симметрия относительно оси Ox.
2.
3. Проходит через начало координат.

Уравнение параболы с центром в точке