Преобразование графиков функций, содержащих модуль

Чтобы построить график функции y=|f(x)|,надо сначала построить график функции y=f(x), а затем участки этого графика, лежащие выше оси абсцисс, оставить без изменения, а участки, лежащие ниже оси абсцисс, зеркально отразить относительно этой оси.
Построение графика функции у = |f(x)|

f(x) → │f(x)│

Так как f (|-x|) = f (|x|), то функция y = f (|x|)
чётная и для построения её графика
следует удалить точки графика функции
f (x), находящиеся слева от оси Оу, а все
точки, лежащие на оси Оу и справа от
неё, отобразить симметрично относительно оси Оу.
Построение графика функции y = f(|x|)

f(x) → f(│x│)

Построение графика функции у = |f(|x|)|
Последовательность действий в этом случае представим следующим образом:
построить график функции y = f(x) для x ;
отобразить построенную часть графика симметрично относительно оси ординат;
участки полученного графика, лежащие ниже оси абсцисс, зеркально отразить относительно этой оси.

x
y
0
y = 2 - x
Пример 1. Построение графика функции у = |2-|x||
x
y
x
y
0
0
y = 2 - |x|
2
2
2
2
-2
y = |2 - |x||
2
2
-2
2
-2

Пример 2. Построение графика функции у = |-|x|+2|
y = |x|
y = -|x|
y = -|x|+2
y = |-|x|+2|
y
2
2
-2
y
y
y
x
x
x
x
-2

Пример 3. Построение графика функции у = |2 - |x||
Основан на свойстве чётности функции, что
позволяет построить её график при , а затем
зеркально отразить его относительно оси Оу.
2
x
-2
2
2
2
y = 2 - x
y = 2 - |x|
x
y
x
y
y
x
y = |2 - |x|| при x>0
2
x
-2
2
y
y = |2 - |x||

Функция y=||x-1|-2|
Построение.
1)Строим график функции y=|x|.
2)Строим график функции y=|x-1|.
3)Строим график функции y= |x-1|-2.
4)Применяем к графику y=|x-1|-2 операцию “модуль”.

Функция y=||x-1|-2|
x
y=|x|
y
0
1
y=|x-1|
-1
3
2
-2
y=|x-1|-2
y=||x-1|-2|

Функция y=|x²-4|x|-3|
Построение.
1)Строим график y=x²-4x+3для х≥0
2)y=x²-4|x|+3 — отражаем полученный график в п.1 относительно оси ординат. Функция чётная.
3)y=|x²-4|x|+3| — часть графика, расположенную в нижней полу плоскости,
отражаем относительно оси абсцисс. Полученная в верхней полуплоскости линия и будет графиком заданной функции.

Функция y=|x²-4|x|+3|
y
x
0
-1
-3
1
3
3
y=x²-4x+3
y=x²-4|x|+3
y=|x²-4|x|+3|

f(x) →│f(│x│)│

f(x) = x² – 6x + 8 = (x – 3)² – 1
f(│x│) = (│x│– 3)² – 1
│f(│x│)│=│(│x│– 3 )² – 1│
f(x) → f(│x│) →│f(│x│)│

Построение графика функции
|y| = f(x) при f(x)
По определению абсолютной величины у = ,
где f(x) . Строго говоря, у нельзя назвать
Функцией х, так как каждому значению аргумента
х будут соответствовать два значения
функции: + f(x) и –f(x). Рассмотрим теперь
последовательность действий:
установить, для каких х выполняется условие f(x)
на найденных промежутках значений х построить график функции у = f(x);
осуществить зеркальное отражение графика относительно оси Ох

Построение графиков функций
|y| = |f(x)|
Очевидно, что у = , т.е. график функции будет
симметричен относительно абсцисс.
Соответствующая последовательность действий:
построить график функции у = |f(x)|;
осуществить его зеркальное отражение
относительно оси Ох.

Пример. Построить график функции |y| = |x|
y = x
y =|x|
|y| =|x|

Построение графиков функций вида
y = |x – x1| + |x – x2| + ...+ |x – xn|
Укажем последовательность действий:
Найдём абсциссы точек перелома графика функции. В данном случае используем для этого условия: хn – 1=0; xn=1; xn – 2=0, xn= 2
Рассмотрим далее функцию на каждом из полученных промежутков. В рассматриваемом примере
их три
а) . Так как оба слагаемых неотрицательны, то на этом промежутке графиком функции будет прямая, выражаемая уравнением у = 2х-3.
б) . Первое слагаемое на данном промежутке неотрицательно, второе отрицательно и потому графиком будет прямая у = 1.
в) . Оба слагаемых отрицательны и потому графиком будет прямая у = 3-2х

Пример. Построить график функции у = |||x-2|-1|-2|
y
х
0
y = |x|
y
х
0
2
2
y = |x-2|
х
0
2
2
y
х
0
2
2
y
х
0
2
y
х
0
2
y = |x-2|-1
y = ||x-2|-1|
y = ||x-2|-1|-2
y = |||x-2|-1|-2|

Пример 2.
График функции
y = x2 – 4x + 3

х
y
0
1
3
-1
х
y
0
1
3
-1
х
y
0
1
3
-1
y = x2 – 4x + 3
y = |x2 – 4x + 3|
х
y
0
1
3
-1
-1
-3
0
1
3
-1
х
y
1
-3
-1
х
y
0
1
3
-1
х
y
3
-3
х
y
0
1
3
-1
3
-3
-1
-3
3
-3
3
-3
3
3
3
3
y = x2 – 4|x| + 3
y = |x2 – 4|x| + 3|
|y| = x2 – 4x + 3
|y| = x2 – 4|x| + 3
|y| = |x2 – 4x + 3|
|y| = |x2 – 4|x| + 3|

Пример 3.
График функции
1
x-1
y =

х
y
х
y
х
y
х
y
х
y
х
y
х
y
х
y

kk > 1
0 < 0 < k 0 < k < 1

0
x
y
1

0 < k < 1

0
x
y
1

x
0
y
1

k > 1

0
x
y
1

x
0
y
1

f(x) → – f (x)

f(x) → f(kx)
0 < 0 < k 0 < k < 1
k k > 1

k > 1

0 < k < 1

f(x) → f(– x)