Линейное программирование

Линейное про­граммирование – раздел математического программирования, применяемый при разработке методов отыскания экстремума линейных функций нескольких переменных при линейных ограничениях, налагаемых на переменные.
По типу решаемых задач его методы разделяются на уни­версальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного про­граммирования (ЗЛП).

Наиболее часто используются оптимизационные модели принятия решений. Их общий вид таков:
F(X) → max;
X ϵ A,
где Х - параметр, который менеджер может выбирать (управляющий параметр). Он может иметь различную природу - число, вектор, множество и т.п.

Цель менеджера - максимизировать целевую функцию F(X), вы­брав соответствующий Х. При этом он должен учитывать ограничения X ϵ A на возможные значения управляющего параметра Х - он должен лежать в множестве А. Рассмотрим примеры оптимизационных задач менеджмента.
Среди оптимизационных задач менеджмента наиболее известны задачи линейного программирования, в которых максимизируемая функция F(X) линейная, а ограничения А задаются линейными не­равенствами.

Производственная задача. Цех может производить стулья и сто­лы. На производство стула идет 5 единиц материала, на производство стола — 20 единиц (футов красного дерева). Стул требует 10 человеко- часов, стол — 15. Имеется 400 единиц материала и 450 человеко-часов. Прибыль при производстве стула — 45 дол. США, при производстве стола — 80 дол. Сколько надо сделать стульев и столов, чтобы получить максимальную прибыль?

Обозначим Х1 число изготовленных стульев, Х2 — число столов. Задача оптимизации имеет вид:
45Х1 + 80Х2 → max;
5Х1 + 20Х2 < 400;
10Х1 + 15Х2 < 450;
Х1 > 0; Х2 > 0.

В первой строке выписана целевая функция — прибыль при выпуске Х1 стульев и Х2 столов. Ее требуется максимизировать, выбирая оптимальные значения переменных Х1 и Х2. При этом должны быть выполнены ограничения по материалу (вторая строчка) — истрачено не более 400 футов красного дерева. А также и ограничения по труду (третья строчка) — затрачено не более 450 ч.

Кроме того, нельзя забывать, что число столов и число стульев неотрицательны. Если Х1 = 0, то это значит, что стулья не выпускаются. Если же хоть один стул сделан, то Х1 положительно. Но невозможно представить себе отрицательный выпуск — Х1 не может быть отрицательным с экономической точки зрения, хотя с математической точки зрения такого ограничения усмотреть нельзя. В четвертой и пятой строчках задачи и констатируется, что переменные неотрицательны.

Условия производственной задачи можно изобразить на координатной плоскости. Будем по оси абсцисс откладывать значения Х1, а по оси ординат — значения Х2. Тогда ограничения по материалу и последние две строчки оптимизационной задачи выделяют возможные значения (Х1, Х2) объемов выпуска в виде треугольника (рис. 1).

Рис. 1. Ограничения по материалу

Таким образом, ограничения по материалу изображаются в виде выпуклого многоугольника, в данном случае — треугольника. Этот треугольник получается путем отсечения от первого квадранта примы­кающей к началу координат зоны. Отсечение проводится прямой, соот­ветствующей второй строке исходной задачи, с заменой неравенства на равенство. Прямая пересекает ось Х1, соответствующую стульям, в точке (80,0). Это означает, что если весь материал пустить на изготовление стульев, то будет изготовлено 80 стульев.

Та же прямая пересекает ось Х2, соответствующую столам, в точке (0,20). Это означает, что если весь материал пустить на изготовление столов, то будет изготовлено 20 сто­лов. Для всех точек внутри треугольника выполнено неравенство, что означает — материал останется. Аналогичным образом можно изобразить и ограничения по труду (рис. 2).

Рис. 2. Ограничения по труду

Ограничения по труду, как и ограничения по материалу, изображаются в виде треугольника, который получается аналогично — путем отсечения от первого квадранта примыкающей к началу координат зоны. Отсечение проводится прямой, соответствующей третьей строке исходной задачи, с заменой неравенства на равенство. Прямая пересекает ось Х1, соответствующую стульям, в точке (45,0). Это означает, что если все трудовые ресурсы пустить на изготовление стульев, то будет сделано 45 стульев. Та же прямая пересекает ось Х2, соответствующую столам, в точке (0,30). Это означает, что если всех рабочих поставить на изготовление столов, то будет сделано 30 столов. Для всех точек внутри треугольника выполнено неравенство, что означает — часть рабочих будет простаивать.

Мы видим, что очевидного решения нет — для изготовления 80 стульев есть материал, но не хватает рабочих рук, а для производства 30 столов есть рабочая сила, но нет материала, Значит, надо изготавливать и то и другое. Но в каком соотношении?
Чтобы ответить на этот вопрос, надо «совместить» рис. 1 и рис. 2, получив область возможных решений, а затем проследить, какие значения принимает целевая функция на этом множестве (рис. 3).

Таким образом, множество возможных значений объемов вы­пуска стульев и столов (Х1, Х2), или, в других терминах, множество А, задающее ограничения на параметр управления в общей оптимизаци­онной задаче, представляет собой пересечение двух треугольников, т.е. выпуклый четырехугольник, показанный на рис. 3. Три его вершины очевидны — это (0,0), (45,0) и (0,20). Четвертая — это пересечение двух прямых — границ треугольников на рис. 1 и рис. 2, т.е. решение сис­темы уравнений
5Х1 + 20Х2 = 400;
10Х1 + 15Х2 = 450.

Из первого уравнения: 5Х1 = 400 - 20 Х2, Х1 = 80 - 4Х2. Подставляем значение X1, выраженное через X2, во второе уравнение:
10(80 - 4Х2) + 15Х2 = 800 - 40Х2 + 15Х2 = 800 - 25Х2 = 450,
следовательно, 25Х2 = 350, Х2 = 14, откуда Х1 = 80 - 4 х 14 = 80 - 56 = 24. Итак, четвертая вершина четырехугольника — это (24, 14).

Надо найти максимум линейной функции на выпуклом многоу­гольнике. (В общем случае линейного программирования — максимум линейной функции на выпуклом многограннике, лежащем в конечно­мерном линейном пространстве.) Основная идея линейного програм­мирования состоит в том, что максимум достигается в вершинах мно­гоугольника. В общем случае — в одной вершине, и это — единственная точка максимума. В частном — в двух, и тогда отрезок, их соединяющий, тоже состоит из точек максимума.