Логарифмы

Тема урока: Логарифмы

В 1590 году шотландский математик Джон НЕПЕР пришел к идее логарифмических вычислений и составил первые таблицы логарифмов, опубликовал труд «Описание удивительных таблиц логарифмов». В этом труде содержались определение логарифмов, объяснение их свойств. Изобрел логарифмическую линейку, счетный инструмент, использующий таблицы Непера для упрощения вычислений.

Применение логарифма
Банковские расчёты
География
Расчёты в производстве
Биология
Химия
Физика
Астрономия
Психология
Социология
Музыка

Некоторая сумма денег в A руб. подвержена приросту в p% годовых. Через сколько лет эта сумма составит S руб.?

Альпинисты, поднимаясь на пик Победы, достигли высоты, где давление было равно 304 мм рт. ст. Вычислим, на какой высоте находились альпинисты. ( =760 мм рт. ст.)
Решение.
Высота над уровнем моря вычисляется по формуле
где - Р0 давление на уровне моря, p – давление на высоте h м.

Увеличение диаметра объектива телескопа позволяет видеть всё большее количество звёзд, не различимых простым глазом. При этом предельная «звёздная величина» k звёзд, видимых через телескоп, вычисляется по приближённой формуле
где D – диаметр объектива телескопа в см.
Например, при D = 8 см
Значит, через телескоп можно увидеть звёзды до 12-й величины.

Что такое логарифм? Как решать логарифмы?
Эти вопросы многих выпускников вводят в ступор. Традиционно тема логарифмов считается сложной, непонятной и страшной. Особенно -уравнения с логарифмами.
Это абсолютно не так. Абсолютно! Не верите?
Хорошо. Сейчас, за какие-то 10 - 20 минут вы:

1. Поймете, что такое логарифм.
2. Научитесь решать целый класс показательных уравнений.
Даже если ничего о них не слышали.
3. Научитесь вычислять простые логарифмы.
Причём для этого вам нужно будет знать только таблицу умножения, да как возводится число в степень...
Чувствую, сомневаетесь вы...
Ну ладно, засекайте время!
Поехали!

Для начала решите в уме вот такое уравнение:
3x = 9
Удалось?
Ну да, х = 2. Три в квадрате - это девять.
А теперь решите почти то же самое:
3x = 8

Что, что-то не так? 3x = 8
Ответ, что нету такого икса,
не принимается!
Согласитесь, что это как-то нечестно – с девяткой пример решается в уме, а с восьмеркой не решается вовсе! Ну чем девятка лучше восьмерки?!
Математика не терпит такой дискриминации. Для математики все числа равны! Ну, не буквально, конечно….
Можно сообразить, что икс – какое-то дробное число, между единичкой (31 = 3) и двойкой (32 = 9). И даже приближенно подобрать, найти это число. Но так возиться каждый раз.... Математика решает вопрос как всегда радикально и элегантно.

Вернёмся к нашему загадочному примеру:
3x = 8
х - это число, в которое надо возвести 3, чтобы получить 8.
Фраза понятна?
Если непонятна, прочитайте ещё раз. И ещё. Это важно.

назовём это число логарифмом восьми по основанию три.
Записывается это вот как:
х = log38
Читаем ещё раз: "икс равен логарифму восьми по основанию три".
Где что пишется – запомнить легко: число 3 – называется основанием, пишется в логарифме и в показательном выражении внизу.
Основание у чего угодно - оно, обычно, внизу бывает.
И это правильный ответ!

Как решить пример:
5x = 12 ?
Легко!
х - это число, в которое надо возвести 5, чтобы получить 12.
В математической записи: х = log512
Оформление решения:
5x = 12
х = log512

Ещё пример:
2x =135
Элементарно!
х = log2135
И ещё:
19x = 0,352
Не вопрос!
х = log190,352
Это все верные ответы! Приятно, правда?
Представьте, мы в обыденной жизни спросили, например: "как доехать до вокзала?" И нам честно и правильно ответили: "На автобусе, который идёт до вокзала!" В жизни толку с такого ответа мало.
А в математике - пожалуйста!

Вас смущает, что вместо конкретного числа мы пишем какие-то значки с цифрами? Ну ладно, только для вас... Я покажу вам это конкретное число:
х = log38 = 1,892789260714.....
Легче стало? Учтите ещё, что это число никогда не кончается. Иррациональное оно...
Поэтому и записывают логарифмы вместо страшно лохматых чисел. Кому надо числовой ответ - посчитает на калькуляторе.

Но радость от новых знаний будет неполной без ложки дегтя.
Если логарифм считается без калькулятора, его надо считать.
Ответ, например, х = log24 нехорош.
Этот логарифм вычисляется, и его вы обязаны посчитать. Собственно, это и есть решение логарифма.
И чему же равен log24?

log327 = 3
Уловили? Ну-ка разовьём успех! Решаем примеры:
log381 =
2
1
3
4
5
6

log327 = 3
Уловили? Ну-ка разовьём успех! Решаем примеры:
log381 =
log55 =
4
2
1
4
5
6
3

log327 = 3
Уловили? Ну-ка разовьём успех! Решаем примеры:
log381 = log416 =
log55 =
1
3
4
5
6
4
1
2

log327 = 3
Уловили? Ну-ка разовьём успех! Решаем примеры:
log381 = log416 =
log55 = log6216 =
2
1
4
5
6
2
4
1
3

log327 = 3
Уловили? Ну-ка разовьём успех! Решаем примеры:
log381 = log416 =
log55 = log6216 =
2
4
1
3

Вот мы и познакомились с логарифмами. На понятном уровне. Вы убедились, что они не опасны. Но есть, есть у них свои фишки! Самая важная - это ограничения.
До сих пор мы знали два жёстких ограничения. Нельзя делить на ноль и извлекать корень чётной степени из отрицательного числа. Эти ограничения играют огромную роль в решении заданий. Про ОДЗ помните? Теперь добавляются ограничения, связанные с логарифмами.
Запишем в общем виде, т.е. через буквы:
c = logab
или, что едино:
logab = c
Вспомним: а - это основание, которое нужно возвести в степень с, чтобы получить b.

Прикинем, любым ли числом может быть а? Если, к примеру, а = 1? Забавно получится, единица в любой степени - единица. Как-то оно не очень... Как не меняй с, а а и b единичками останутся... Та же история и с нулём. Не годятся эти числа в качестве основания. Отрицательные числа - капризные. В одну степень их можно возводить, в другую нельзя... Вот и поступили с ними, как со всеми капризными – вовсе исключили из рассмотрения.
В результате получилось:
а > 0; a ≠ 1
А если мы положительное число возведём в любую степень, мы получим... получим... Да! Положительное число и получим. Отсюда:
b > 0

Ещё не мешает знать, что такое десятичный логарифм и что такое натуральный логарифм?
В математике два основания употребляются очень часто.
Это основание 10 и основание число е.
log10b = lgb
logeb = lnb