Логарифмы. Свойства логарифмов

Сведения из истории
.
Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел, а также извлечением корней. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц
геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание, а извлечение корня степени n сводится к делению логарифма подкоренного выражения на n. Первым эту идею опубликовал в своей книге «Arithmetica integra» Михаэль Штифель, который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для реализации своей идеи.

В 1614 году шотландский математик-любитель Джон Непер опубликовал на латинском языке сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов». В нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1'. Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке. Теорию логарифмов Непер изложил в другой своей книге «Построение удивительной таблицы логарифмов», изданной посмертно в 1619 году его сыном.
Сведения из истории
Слово логарифм происходит от греческого λόγοφ (число) и αρινμοφ (отношение) и переводится, следовательно, как отношение чисел.
«Логарифм данного синуса есть число, которое арифметически возрастало всегда с той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать».

Сведения из истории
Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство – таблицы логарифмов, – резко повысившее производительность труда вычислителей. Добавим, что уже в 1623 г., т. е. всего через 9 лет после издания первых таблиц, английским математиком Д. Гантером была изобретена первая логарифмическая линейка, ставшая рабочим инструментом для многих поколений.
Первые таблицы логарифмов составлены независимо друг от друга шотландским математиком Дж. Непером (1550 - 1617) и швейцарцем И. Бюрги (1552 - 1632).

Понятие логарифма
.
Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию а называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b
logab = c, ac = b; а ≠ 1, a > 0, b > 0
- основное логарифмическое тождество

loga bm =
logak bm =
loga b =
loga b =
loga b ∙ logc d =
=
alogcb =
Основные свойства логарифмов
loga 1 =
loga a =
loga =
logak a =
loga am =
logak am =
loga bc =
loga =
logak b =
0;
1;
m;
m logab;
logab + logac;
logab − logaс;
-1;
logc b ∙ loga d
blogca

Примеры
log2 8 =
log3 729 =
log0,2 25 =
log4 8 =
log2 2 =
log10 1 =
log49 1/7 =
log0,1 10000 =
3, 23 = 8;
6, 36 = 729;
-2, (0,2)-2 = 25;
1,5, 41,5 = 8;
1, 21 = 2;
0, 100 = 1;
-0,5, 49-0,5 = 1/7;
-4, 0,1-4 = 10000.