Математические основы экономической кибернетики. Элементы теории множеств и математической логики. (Лекция 1)

Общие понятия
На сегодня наиболее эффективный путь изучения экономических явлений и процессов связан с построением математических моделей. Это требует знания и умения применять не только традиционных разделов математики, но и тех, которые сформировались сравнительно недавно и относятся к дискретной математики.
Курс дискретной математики является фундаментом математической кибернетики и состоит из следующих основных частей:
1) теория чисел;
2) теория множеств;
3) математическая логика;
4) теория графов и сетей;
5) теория автоматов и формальных грамматик;
6) комбинаторный анализ.

Общие понятия
Под множеством понимается некоторая определенная совокупность объектов или элементов, которые имеют определенные свойства и находятся в определенных отношениях между собой или элементами других множеств.
Обозначают множества используя прописные латинские буквы (A,B,C,D,…S,N) или те же буквы только с индексами. А элементы множеств будем обозначать: a,b,c,d или a1,b1,c1,d1.
Пример: Множество десятичных цифр, множество студентов.
Существует несколько способов задания множества:
Словесный (вербальный) с помощью описания характеристических свойств, которые обладают элементы этого множества.
Список (перечень) всех элементов множества в фигурных скобках X= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A={2,4,6,8,….}
Предикатный (высказывательный) множество задается в виде:
{x: P(x)}
P(x) – предикат (высказывание, которое получает значение «истина» для всех элементов данного множества. Например {x: x- студент ЗГИА}.

Множества бывают:
конечными
бесконечными (Например, множество всех точек прямой)
пустыми
Пустое множество обозначается символом .
Например, множество решений уравнения в области действительных чисел пусто, т.е. .
Если объект a является элементом множества A, то пишут , если же объект a не является элементом множества A, то пишут .
Подмножество.
Рассмотрим множества A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и B = {2, 4, 6}. Каждый элемент множества B принадлежит множеству A.
Определение. Множество B называется подмножеством множества A, если каждый элемент множества B является элементом множества A, т.е. .
Обозначение. B ⊂ A или A ⊃ B.
Общие понятия. Отношения между множествами.

Общие понятия. Отношения между множествами.
Если в множестве B найдется хотя бы один элемент, не принадлежащий множеству A, то множество B не будет являться подмножеством множества A.
Обозначение. B ⊄ A.
Множества А и В называются равными если они состоят из одних и тех же элементов.
Обозначение. A=В.
Замечание:
1. Считают что пустое множество является подмножеством любого множества.
2. Любое множество является подмножеством самого себя.
Универсальным множеством U называется множество обладающее такими свойствами, что все рассматриваемые множества являются его подмножествами.

Общие понятия. Пересечение множеств.
Часто в качестве инструмента позволяющего изображать множества и иллюстрировать операции над ними используют диаграммы Венна (Эйлера). Множество представляется в виде внутренней части круга, а универсальное множество U обозначается прямоугольником.

Общие понятия. Отношения между множествами.

Общие понятия. Отношения между множествами.

Общие понятия. Отношения между множествами.
5. Симметричная разность множеств А и В это множество тех элементов А, которые не принадлежат множеству В или множество элементов В не принадлежащих множеству А.

Операции над множествами. Свойства
Операции над множествами обладают следующими свойствами:
Свойство коммутативности
Свойство ассоциативности
Закон дистрибутивности
Закон идемпотентности