Математика. Управление социальными системами. Линейная алгебра. Определители

Определитель квадратной матрицы.
Определение
Каждой квадратной матрице А порядка n (где n≥1) ставится в соответствие число, называемое определителем матрицы А, обозначаемое ⎜А ⎜, вычисляемое по правилу:
и так далее:

Определитель квадратной матрицы.
Определение

Определитель квадратной матрицы
Определитель n -го порядка:
Эта формула называется разложением определителя n -го порядка по первой строке.

Определитель квадратной матрицы
Пример 1. Вычисление определителя путем разложения по элементам 1-ой строки.

Определитель квадратной матрицы
Теорема. Определитель может быть вычислен разложением по элементам его л ю б о й строки или столбца.
Разложение определителя
по i-той строке:
Разложение определителя
по j-му столбцу:

Определитель квадратной матрицы
Пример 1 (продолжение)
Вычисление определителя путем разложения по элементам 3-й строки
Вычисление определителя путем разложения по элементам 4-го столбца

Свойства определителей
1. Определитель не меняется при замене в нем всех строк соответствующими (по номеру) столбцами, т.е. .
2. Определитель равен нулю, если содержит нулевую строку или нулевой столбец.
3. Определитель равен нулю, если содержит две одинаковые строки или два одинаковых столбца.

Свойства определителей
4. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали матрицы

Свойства определителей
5. Определитель изменит знак на противоположный, если в нем поменять местами любые две строки или два столбца (то есть применено элементарное преобразование первого типа).
6. Если строку (столбец) определителя умножить на некоторое число (то есть применено элементарное преобразование третьего типа), то определитель умножится на это число.

Свойства определителей
7. Определитель не изменится, если в нем заменить строку суммой этой строки и некоторой другой, вспомогательной, предварительно умноженной на какое-либо число (то есть применено элементарное преобразование второго типа).
8. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей. т.е.

Применение свойств определителя для вычисления определителей
Пример 1. Вычислить определитель пятого порядка:
Решение.

Применение свойств определителя для вычисления определителей

Применение свойств определителя для вычисления определителей

Применение свойств определителя для вычисления определителей
Пример 2. Вычислить определитель пятого порядка путем приведения к верхнетреугольному виду:
Решение.

Применение свойств определителя для вычисления определителей
Решение.

Свойства определителей
Определение. Алгебраическим дополнением элемента матрицы порядка n называется число, равное
Используя алгебраическое дополнение, метод вычисления определителя матрицы примет вид:

Обратная матрица

Обратная матрица
Определение. Матрица называется невырожденной, если определитель этой матрицы отличен от нуля:
в противном случае матрица называется вырожденной.
Теорема. Если матрица A имеет обратную, то эта матрица является невырожденной:

Методы вычисления обратной матрицы
Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет обратную, причем
где алгебраическое дополнения элемента матрицы A.

Пример вычисления обратной матрицы
Пример. Найти матрицу, обратную данной:
Решение.

Пример вычисления обратной матрицы
Найдем алгебраические дополнения:
Тогда

Методы вычисления обратной матрицы
Обратная матрица для матрицы 2-го порядка
Пусть
Пример.

Методы вычисления обратной матрицы
Метод Жордана-Гаусса вычисления обратной матрицы (метод присоединенной матрицы)
Дана матрица A. Составим расширенную матрицу , приписав после матрицы A за вертикальной чертой единичную матрицу той же размерности.
Если с помощью элементарных преобразований удастся преобразовать полученную расширенную матрицу к виду, в котором слева будет находиться единичная матрица, то справа будет находиться обратная матрица A-1, т.е.

Пример вычисления обратной матрицы

Пример вычисления обратной матрицы
Следовательно, заключаем