Занятие 1_2022

Определение и свойства функций
Если каждому значению х из некоторого множества чисел поставлено в соответствие число у, то говорят, что на этом множестве задана функция у(х).
y = f(x)
х -независимая переменная или аргумент,
у – зависимой переменной или значение функции
Множество х – область изменения аргумента (область определения функции) D(у)
Множество у – область изменения функции (область значений функции) Е(у)

Функцию y = f(x) называют возрастающей на множестве Х, если для любых двух элементов из этого множества, таких, что х1 < x2 , выполняется условие f(x1 ) < f(x2 ).
Функцию называют возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции
Функцию y = f(x) называют убывающей на множестве Х, если для любых двух элементов из этого множества, таких, что х1 < x2 , выполняется условие f(x1 ) > f(x2 ).
Функцию называют убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции
Монотонность

Монотонность
Где возрастающая и где убывающая функция?

Монотонной называется функция, постоянно убывающая или возрастающая на заданном промежутке. Если она постоянно убывает или возрастает, то считается строго монотонной.

Четность функции
Пример

Периодичность

Непрерывность

Степенная функция

Степенная функция

Показательная и логарифмическая функции
Линейная функция
Тригонометрическая функция

Производная функции у = f(x) геометрически представляет собой угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке с абсциссой х (тангенс угла наклона касательной к оси 0X
Геометрический смысл производной
Если существует касательная, то существует и производная, и наоборот.
Случаю касательной, не параллельной оси OY, отвечает конечная производная, параллельной оси OY – бесконечная производная

Физический смысл - производная функции отражает скорость изменения функции при изменении ее аргумента.
Например, если x = f(t) есть уравнение прямолинейного движения точки, то производная dx/dt представляет собой мгновенную скорость точки в момент времени t
Скорость (быстрота) протекания физических, химических, биологических процессов, например скорость охлаждения тела, скорость химической реакции и т.п., также выражается при помощи производной.
Например, скорость охлаждения тела равна производной температуры тела по времени: dТ/dt
Скорость химической реакции есть производная массы образующегося вещества по времени: dm/dt
Физический смысл производной

Физический смысл производной

Дифференциал функции
Дифференциал функции: определение, геометрический смысл

Дифференциал функции: определение, геометрический смысл
Дифференциалом функции называется произведение производной этой функции на приращение ее аргумента
dy = y`(x) Δx
Дифференциал функции существует лишь для дифференцируемых функций, то есть функций, имеющих производную. Дифференциал функции прямо пропорционален приращению аргумента Δx (линеен относительно приращения аргумента функции
Формулу дифференциала функции можно записать в виде:
dy = y’dy
а формулу производной – в виде
Производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу ее аргумента

Производные элементарных функций

Производные и дифференцирование

Вычисления производных

Вычисления производных

y = (2x+3) sin x

Производная сложной функции

Производная сложной функции

Производная сложной функции

Производная сложной функции

Найти область определения функции
Найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в этих точках
Выяснить, является ли функция четной, нечетной или периодической
Найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции
Найти вертикальные и невертикальные асимптоты графика функции
Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции
Найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости вверх и вниз
Построить график функции
Исследовать функцию

Исследовать функцию и построить график
y= (x²+1)/x.
1. Область определения - x≠0 - деление на 0.
x∈(-∞,0]∪[0,+∞)
2. Пересечение с осью Х
y(x) = 0 - Корней нет - нет точек пересечения.
3. Пересечение с осью Y
X∈ ∅
4. Поведение на бесконечности.
Y(-∞) = -∞
Y(+∞) = +∞
5. Наклонная асимптота
Y = x.
6. Исследование на четность.
Y(-x) = - (x²+1)/x
Y(x) = (x²+1)/x
Функция нечетная.
7. Производная функции
Y' = 2 - (x2+1)/x²
8. Корни производной.
Y' = 0. х1 = -1 и х2 = 1. - точки экстремумов.
9. Монотонность.
Возрастает - Х∈(-∞, -1]∪[1,+∞)
Максимум - Ymax(-1) = -2
Убывает- Х∈[-1,0]∪[0,1]
Минимум - Ymin(1) = 2.

Исследовать функцию и построить график

y = 2x3+3x2-1

Пример

Обратные примеры:
По графику функции, изображенному на рисунке, указать:

«Неберущиеся» интегалы
Интеграл, который не выражается через элементарные функции, т.е. его нельзя найти

Неопределенный интеграл. Свойства

Неопределенный интеграл элементарных функций

Неопределенный интеграл. Метод замены переменных

Неопределенный интеграл. Метод замены переменных

Определенный интеграл
Найдем площадь криволинейной трапеции

Определенный интеграл

Определенный интеграл. Свойства

Определенный интеграл. Свойства

Определенный интеграл. Свойства

Определенный интеграл. Свойства

Примеры. Прямое интегрирование

Примеры. Метод подстановки

Примеры. Метод подстановки

Примеры. Метод подстановки

Интегрирование по частям

Интегрирование суммы трех функций

Интегрирование в физике

Аппроксимация медицинских (антропометрических) данных функциями.

Антропометрия
Рост людей

Антропометрия
Для определения примерного роста реального человека предварительно получают набор среднестатистических величин размеров роста человека и соответствующих каждому из этих значений среднестатистических величин размеров следа стопы человека.

Лабораторная работа:
Часть 1. Антропометрия. Построить зависимость размера обуви от роста студентов в группе и аппроксимировать полученную зависимость линейной функцией. (выполняется группами по 5-6 человек). Построить полученные данные в двойных логарифмических и полулогарифмических координатах. Сделать выводы, сдать в письменном виде.
Часть 2. С помощью мультиметра, снабженного термопарой, построить зависимость температуры теплой воды в стакане от времени и зависимость показаний датчика от времени после прикосновения термопары к вашему телу. Выполнить построение полученных экспериментальных данных в двойных логарифмических и в полулогарифмических координатах.
Сделать выводы о функции, которая описывает полученную экспериментальную зависимость.